matrizes

Páginas: 11 (2692 palavras) Publicado: 26 de outubro de 2014
Matrizes
Defini¸

ao
Defini¸

ao. Uma matriz m × n ´e uma tabela de mn n´
umeros dispostos em m linhas e n colunas


a11 a12 ... a1n
 a21 a22 ... a2n 


A=
.. . .
..  .
..

.
.
. 
.
am1 am2 ... amn
Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos, desde que seus elementos sejam todos do
mesmo tipo, neste curso em n´ıvel introdut´orio lidaremosapenas com matrizes cujos elementos s˜ao n´
umeros
reais; por esse motivo, tais matrizes s˜
ao chamadas de matrizes reais. A defini¸c˜ao matematicamente precisa
para uma matriz real A, m × n, ´e a seguinte: A ´e uma fun¸c˜ao A : [1, m] × [1, n] → R; ao inv´es da nota¸c˜ao
usual para fun¸c˜
oes aplicadas em elementos A(i, j), para matrizes usa-se a nota¸c˜ao indexada Aij . Quando se
fala dematrizes, esta defini¸c˜ao ´e implicitamente entendida, mas ningu´em se refere a matrizes como fun¸c˜oes
de modo expl´ıcito. Ficamos satisfeitos com a compreens˜ao intuitiva e a f´acil visualiza¸c˜ao proporcionada pela
defini¸c˜ao pouco rigorosa anterior.
Exemplo 1.

4
3
π
 7 −1
3 

A=

 5
√0 −276
−2
2 10


´e uma matriz 4 × 3.

A i-´
esima linha de A ´e
ai1

ai2... ain

onde i = 1, ..., m, isto ´e, i pode ser qualquer n´
umero entre 1 e m.
A j-´
esima coluna de A ´e


a1j
 a2j 


 ..  .
 . 
amj
onde j = 1, ..., n, isto ´e, j pode ser qualquer n´
umero entre 1 e n.
Exemplo 2. A 2a linha da matriz A do Exemplo 1 ´e
7 −1

1

3

.

A 3a coluna de A ´e




π

3 


 −27  .
106

Matrizes em geral s˜ao denotadas na forma
A = (aij )m×n ,
ou simplesmente
A = (aij ),
quando n˜ao h´
a necessidade de enfatizar a dimens˜ao m × n da matriz.
Existem duas nota¸c˜
oes padr˜
ao para um elemento individual de uma matriz:
aij

ou

[A]ij

representam o elemento da matriz A que ocupa a posi¸c˜ao ij, ou seja, est´a na linha i e na coluna j.
Duas matrizes A = (aij )m×n e B = (blk )l×k s˜aoiguais se e somente se elas tˆem o mesmo tamanho, isto
´e, m = l e n = k, e se os elementos que ocupam posi¸c˜oes iguais s˜ao iguais, isto ´e, aij = bij .
Exemplo 3. (Matriz como um modelo para a apresenta¸c˜ao de dados)
V´arios tipos de pesticidas s˜
ao absorvidos de maneira diferente por plantas diversas. Uma matriz
pode ser usada para apresentar os dados obtidos em observa¸c˜oes sobre aquantidade de trˆes pesticidas
diferentes absorvidos por quatro plantas determinadas: seja
aij = quantidade do pesticida i absorvido pela planta j (em mg) em um mˆes chuvoso;
ent˜ao A = (aij )3×4 ´e a tabela
Planta 1
2
A= 3
4

Planta 2 Planta 3 Planta 4


3
5 
4

4
2
6

3
2
1

Pesticida 1
Pesticida 2
Pesticida 3

Opera¸

oes com Matrizes
Soma de Matrizes
A adi¸c˜aode matrizes ´e definida somente para matrizes de mesmo tamanho. Se A e B s˜ao duas matrizes de
mesmo tamanho m × n, a soma destas duas matrizes, denotada A + B, ´e tamb´em uma matriz m × n, cujo
elemento na posi¸c˜
ao ij ´e definido como sendo a soma dos elemento de A e B que ocupam a posi¸c˜ao ij. Ou
seja, se
A = (aij )m×n e B = (bij )m×n ,
ent˜ao C = A + B ´e a matriz (cij )m×n definidapor
cij = aij + bij .
Exemplo 4. Sejam


2
A= π
0
Ent˜ao



2
A+B = π
1




2
−3 
7



e



 
4
2
−3  +  3
106
7
2

4
B= 3
106
 
1
6
3 = π+3
0
1 + 106


1
3 .
4



2+1
.
0
7

Multiplica¸c˜
ao de uma Matriz por um Escalar
Um escalar ´e qualquer n´
umero real.
Se A ´e uma matriz m × n e α ´e um escalar, ent˜ao oproduto da matriz A pelo escalar α, denotado αA, ´e
tamb´em uma matriz m × n, cujo elemento na posi¸c˜ao ij ´e definido como sendo o produto do elemento de A
que ocupa a posi¸c˜
ao ij pelo escalar α. Ou seja, se
A = (aij )m×n
ent˜ao C = αA ´e a matriz (cij )m×n definida por
cij = αaij .
Exemplo 5. Experimentalmente, verifica-se que durante um mˆes seco, a quantidade de pesticida absorvido...
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