Matimaticas
Fundamentos da Eletrostática
Aula 04
Coordenadas Curvilíneas, Lei de
Gauss e Função Delta
Até agora, usamos sempre o sistema de coordenadas cartesiano, ou seja:
dados três eixos perpendiculares no espaço, representamos
um ponto
P
pelas três projeções (coordenadas) deste ponto sobre
cada eixo coordenado, ou seja,
P = (x, y, z ) .
Prof. Alex G. Dias
Prof. Alysson F. Ferrari
Esta não é a única forma de especicar um ponto no espaço.
Podemos, por exemplo, considerar a esfera centrada na origem passando por
P.
A posição de
P
na esfera pode ser representada por
dois ângulos (latitude e longitude). Conhecendo o raio pode-se igualmente especicar o ponto
P
R
da esfera,
através destes três números,
P = (R, latitude, longitude) .
Dependendo da simetria do problema que consideramos, o tratamento é muito simplicado se adotamos um sistema de coordenadas adequado. Note que os
resultados
que obtemos não dependem do
sistema de coordenadas que escolhemos para trabalhar: geralmente, o grau de diculdade
para chegar a estes resultados varia muito. Na
prática, portanto, escolher o sistema de coordenadas adequado já é um passo muito importante para a solução do problema.
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1
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Coordenadas polares esféricas
Um vetor
P
qualquer pode ser escrito, portanto, de duas formas
ˆ
ˆ
ˆ
P = Pxx + Py y + Pz z
ˆ
ˆ
= Pr ˆ + Pθ θ + Pφφ r Em coordenadas cartesianas:
P = (x, y, z ) .
onde os vetores unitários
ˆ, θ rˆ e
ˆ φ são mutualmente ortogonais e
apontam na direção de crescimento das respectivas variáveis, e
Já em coordenadas esféricas, escrevemos
P = (r, θ, φ) ,
Px = |P| sin θ cos φ
Py = |P| sin θ sin φ
Pz = |P| cos θ
onde
Diferentemente do caso cartesiano, os
•r
é a distância de
P
•θ
é o ângulo da linha que