Matemática

1) Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5000 m2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?

A = b.h
5000 = b.h h = 5000b

C = 2h +b
C = 2 (5000b). b
C = 10000b + b

C = b + 10000 b-1
C’ = 1 + (-1). 10000b-1-1
C’ = 1 - 10000 b-2
C’ = 1 - 10000b²

∆ =b²-4ac
∆ = 0² - 4.1.(-10000)
∆ = 40000

b = -b±∆2a b = -0 ±400002.1 b = ±2002 b = 100

C(100) = 10000100 + 100
C(100) = 200m

C(50) = 1000050 + 50
C(50) = 250m

2) Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por Cx=x3-3x2-80x+500.
Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro?
Qual o máximo lucro semanal possível?

C(x) = Cx=x3-3x2-80x+500
P = 2800
Produção ≤20

L = R – C
L = p.x – (x3-3x2-80x+500)
L = 2800. x – (x3-3x2-80x+500)
L = 2800x - x3-3x2-80x+500
L = -x³ + 3x² +2880x -500

L’ = -3x3-1+3.2x2-1+2880+0
L’ = -3x2+6x+2880

∆ =b²-4ac
∆ =36-4 .3. 2880
∆ =34596

x = -b±∆2a x = -36 ± 1862. (-3) x = 32 x = -30

C(0) = -500

C(20) = 50.300
C(20) = 15000

3) Numa fazenda com 60 laranjeiras, a média da colheita é de 400 laranjas por árvore. Calcula-se que, plantando outras laranjeiras na mesma área, haverá um decréscimo de 4 laranjas por árvore, para cada árvore adicional plantada.
Quantas árvores adicionais devem ser plantadas para que a produção seja máxima?

≥100
60 - hoje
(60 + n)
(400 - 4n)

p = (60 + n). (400 - 4n) p = 24000- 240n + 400n – 4n² p = 24000 + 160n – 4n² p’ = 0 + 160 - 8n

p (20) = 24000 + 160. 20 - 4.20² p (20) = 24000 + 3200 – 1600 p (20) = 25600

100 - 60 40

p(40) = (60+ 40). (400-4.40) p(40) = 100. (40.160) p(40) = 100. 240 p(40) =