Matematica

UNIDADE 1 - DERIVADAS

UNIDADE 1 – TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V.)

1 – Definição Seja f uma função definida num conjunto D. Sejam xo e xo + Δx dois pontos desse conjunto D. Quando a variável x passa do valor de xo para o valor xo + Δx sofrendo, portanto uma variação Δx, o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo + Δx) sofrendo, assim uma variação Δy = f(xo + Δx) – f(xo).

Observe a figura abaixo: y

f(xo+ Δx)

Δy f(xo) Δx

xo xo + Δx x

O quociente [pic],recebe o nome de Taxa Média de Variação (T.M.V.)

A Taxa Média de Variação (T.M.V.), mede a variação média sofrida pela função quando passamos do ponto xo para xo + Δx. Ex.: a) Calcular a Taxa Média de Variação (T.M.V.) da função f(x) = x2 entre os pontos 1 e 4. xo = 1 xo + Δx = 4 1 + Δx = 4 Δx = 3 f(xo) = (1)2 = 1 f(xo + Δx) = (4)2 = 16 T.M.V. = [pic] = [pic] = 5

2 – Derivada de uma função num ponto Seja a função f(x) definida no intervalo [ a , b ] e seja um ponto de abscissa xo desse intervalo. Denomina-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa xo, o limite, se existir e for finito, da razão [pic]quando Δx tende a zero.

[pic]

Ex.: a) Calcular a derivada da função f(x) 3x2 no ponto xo = 2. xo = 2 f(xo + Δx) = f(2 + Δx) f(xo) = f(2) = 3(2)2 = 12 lim = f(xo + Δx) – f(xo) Δx→ 0 Δx lim = f(2 + Δx ) – f(2) Δx→ 0 Δx lim = 3(2 + Δx)2 – 12 Δx→ 0 Δx lim = 3(4 + 4Δx + Δ2x2) – 12 Δx→ 0 Δx lim = 12 + 12Δx + 3Δ2x2 – 12 Δx→ 0 Δx lim = 3Δx(4 + Δx)