Matemática básica - ensino médio - resumo

Páginas: 18 (4422 palavras) Publicado: 28 de setembro de 2012
Exatas Handbook

Índice
Álgebra Elementar e Conjuntos Funções Logaritmos Trigonometria Progressões Matrizes e Determinantes Sistemas Lineares Análise Combinatória Binômio de Newton Números Complexos Polinômios Geometria Analítica Geometria Espacial Geometria Plana 5 6 7 8 14 16 22 23 24 26 29 32 39 43

Fernando H. Ferraz

Álgebra Elementar
Simbologia

Logaritmos
logab = x Û a = b
xÙ (e) Ú (ou) | (tal que) $ (existe) $ (não existe) " (qualquer que seja) Æ (vazio) Conjuntos

Î (pertence) Ï (não pertence) É (contém) É (não contém) Ì (contido) Ë (não contido)

onde: a, b, x ÎR a>0ea¹1eb>0 Decorrências da definição loga1 = 0 (" 0 < a ¹ 1) logaa = 1 (" 0 < a ¹ 1)
logba

a = b (0 < a ¹ 1 e b > 0) logab = logac Û b = c (0 < a ¹ 1, b > 0 e c > 0) Propriedades operatóriaslogab + logac = log abc logab - logac = log a b c a logab = a . logab log ab = 1 . log b
a

Interseção A Ç B = { x | x Î A Ù x ÎB } União A È B = { x | x Î A Ú x ÎB } Diferença A - B = { x | x Î A Ù x ÏB } Complementar B se B Ì A então CA = A - B

a

a

Mudança de base logab = logcb logca

5

7

Trigonometria
Razões Trigonométricas
Seja um triângulo retângulo, fixando um ânguloagudo a, temos:

Funções
Estudo da função Uma relação R: A ® B será uma função de A em B, se e somente se: - D(R) = A - Cada elemento x Î A se relaciona (forma par) com um único elemento B. Notação: f : A ® B ou y = f(x) Função do 2º grau - f: R ® R, definida por f(x) = ax2 + bx + c - D(f) = R -b ; -D - Coordenadas do vértice: V = 2a 4a

a b

a

c

seno - é a razão entre o cateto oposto aoângulo e a hipotenusa: sena = b a cosseno - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa: cosa = c a tangente - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente ao ângulo: tga = b c

(

)

- Se a > 0, valor mínimo = yv. - Se a < 0, valor máximo = yv.

8

6

Para lembrar...
Lembre-se da frase: “Corri, caí e tomei uma coca”. corri - co/hip (catetooposto/hipotenusa) = seno caí - ca/hip (cateto adjacente/hipotenusa) = cosseno coca - co/ca (cateto oposto por adjacente) = tangente

De 1 temos:

cotg2a + 1 = cossec2a 2 2 tg a + 1 = sec a De 2 temos: tga = sena cotga = cosa sena cosa 1 1 seca = cosa cosseca = sena

sen2a + cos2a = 1

Valores notáveis

Triângulos Quaisquer
Seja um triângulo abc, qualquer: C

30°
sen cos tg
1 2 Ö3 2 Ö3 3

45°Ö2 2 Ö2 2 1

60°
b
Ö3 2 1 2 Ö3
A a

11
B

c

Lei dos Senos:
a = b = c senA senB senC

Radianos - Graus
180° = p rad

y° = x rad
x = y° p

Lei dos Cossenos: a² = b² + c² - 2bc.cosA b² = a² + c² - 2ac.cosB c² = b² + a² - 2ab.cosC

180°

9

11

Transformação de Arcos
Arcos negativos:
sen(-a) = -sena

PG (Progressões Geométricas)
Termo geral an = a1 . q Soma dostermos Sn = a1 - an . q 1-q
n-1

tg(-a) = -tga cos(-a) = cosa Adição/Subtração de arcos:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

Û Sn =

a1 . (1 - qn) 1-q

sen(a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a cos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b cos(a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
tg(a + b) = tg a + tg b tg(a - b) = tg a - tg b 1 - tg a . tg b 1 + tg a . tg b

PG infinita (-1 < q <1) a1 S= 1-q Média da PG Seja uma PG(...,a,b,c,...) b =Ö a . c Escrevendo 3 termos consecutivos -1 (...,xq ,x,xq)

Arco dobro:
sen(2a) = 2 . sen a . cos a

cos(2a) = cos²a - sen²a Arco metade:
2 Ö1 - cos x cos(x/2) = ± 1 + cos x Ö 2 1 - cos x tg(x/2) = ± Ö 1 + cos x sen(x/2) = ±

tg(2a) =

2tga 1 - tg²a

13

15

Ciclo Trigonométrico
tangente

Ö3

Relações TrigonométricasFundamentais

seno

sena
1

cosa

p/2 (90º) 1
(120º) 2p/3 (135º) 3p/4 p/3 (60º)

Ö3/2
p/4 (45º)

Ö2/2 Ö3/3
(150º) 5p/6 p/6 (30º)

1/2

tga

1

cotga

(180º) p
-1 -Ö3/2 -Ö2/2 -1/2 1/2 Ö2/2 Ö3/2 1

0 (0º)

10
seca cosseca
A partir desse hexágono, podemos retirar todas as relações trigonométricas fundamentais. Notemos as seguintes propriedades:

cosseno
2p (360º)...
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