M07 Aluno

Universidade Federal Fluminense
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Instituto de Matematica e Estat´ıstica
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Departamento de Matematica
Aplicada

C´alculo III-A – M´odulo 7
Aula 13 – Aplica¸c˜oes da Integral de Linha de Campo Escalar
Objetivo
• Apresentar uma interpreta¸c˜ao geom´etrica.
• Apresentar algumas aplica¸c˜oes `a F´ısica.

Interpreta¸c˜ ao geom´ etrica no plano
Seja f (x, y) ≥ 0 e cont´ınua. Ent˜ao o gr´afico de f , Gf , est´a acima do plano xy.

z
Gf

(x, y, f (x, y))

(x, y)

y

S

∆s

x

C

A partir da curva C ⊂ plano xy, construa a superf´ıcie S de base C e “altura” f (x, y) em (x, y) ∈ C.
A integral f (x, y) ds representa a ´area de um lado da superf´ıcie S.
C

Exemplo 1
A base de uma superf´ıcie ´e dada por x2 + y 2 = 2 , x ≥ 0. Se a altura da superf´ıcie em (x, y) ´e f (x, y) = x, x ≥ 0, obter a ´area de um lado da superf´ıcie.

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Calculo
III-A

´
Modulo
7

2

Solu¸c˜ao:
O esbo¸co de S ´e:

z z = f (x, y) = x
S

√
2

√
2

(x, y)

x
A ´area de um lado de S ´e dada por

y

f (x, y) ds = x ds, onde C ´e parametrizado por

√

C
C
√
2 cos t, 2 sen t, , −π/2 ≤ t ≤ π/2 (pois x ≥ 0).
√
√
√
√
Se σ ′ (t) = − 2 sen t, 2 cos t , ent˜ao σ ′ (t) = 2 sen2 t + 2 cos2 t = 2 portanto,

σ(t) =

ds = σ ′ (t) dt =
Ent˜ao

π/2

x ds =

√

2 cos t

√

√

2 dt .

2 dt = 2 sen t

π/2

= 4 u.a.

−π/2

−π/2
C

Interpreta¸c˜ ao F´ısica
Se δ(x, y) representa a densidade (massa por unidade de comprimento) de um arame C ⊂ R2 , ent˜ao δ(x, y) ds representa a massa total do arame:
C

M=

δ(x, y) ds .
C

UFF

IME - GMA

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Calculo
III-A

´
Modulo
7

3

OBS.:
1. O centro de massa (x, y) do arame ´e dado por
Mx =

xδ(x, y) ds
C

My =

yδ(x, y) ds
C

2. O momento de in´ercia de C ⊂ R2 em rela¸c˜ao a um eixo E ´e dado por r 2 (x, y)δ(x, y) ds

IE =
C

onde r(x, y) = distˆancia de (x, y) ao eixo E.
3. Seja uma curva C ⊂ R3 , representando um arame de densidade δ = δ(x, y, z) em (x, y, z) ∈ C. Ent˜ao, observe as seguintes f´ormulas: (i) Comprimento do arame: L =

ds
C

(ii) Massa do arame: M =

δ(x, y, z) ds
C

(iii)