M09 Aluno

Universidade Federal Fluminense
´
Instituto de Matematica e Estat´ıstica
´
Departamento de Matematica
Aplicada

C´alculo III-A – M´odulo 9
Aula 17 – Teorema de Green
Objetivo
• Estudar um teorema que estabelece uma liga¸c˜ao importante entre integrais de linha e integrais duplas. O Teorema de Green
Teorema: Seja D uma regi˜ao fechada e limitada de R2 , cuja fronteira ∂D ´e formada por um n´umero finito de curvas simples, fechadas e C 1 por partes, duas a duas disjuntas, orientadas no sentido que deixa D `a esquerda das curvas, (isto ´e, ∂D est´a orientada positivamente). Seja
→
−
→
−
F = P (x, y) i + Q(x, y) j um campo vetorial de classe C 1 em um conjunto aberto U com D ⊂ U.
Ent˜ao
− −
→
F · d→ r =
∂D +

∂Q
∂x

P dx + Q dy =

−

∂P
∂y

dxdy

D

∂D +

C1

D

C2

C3

C4

No caso, ∂D = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 e

∂D +

C1+

C2−

− −
→
F · d→ r .

− −
→
F · d→ r +

− −
→
F · d→ r +

− −
→
F · d→ r +

− −
→
F · d→ r =

C3−

C4−

´
Calculo
III-A

´
Modulo
9

2

OBS.: Geralmente, usamos o Teorema de Green, quando
C+

− −
→
F · d→ r ´e

dif´ıcil de ser calculada diretamente.

Exemplo 1
→
−
→
−
→
−
Seja F (x, y) = (2x+y) i +(3y +4x) j . Vamos calcular as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, para D a regi˜ao triangular de v´ertices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). y B = (0, 1)

x+y =1

D
O

x

A = (1, 0)

Temos ∂D = OA ∪ AB ∪ BO.
C´alculo de
OA

− −
→
F · d→ r Temos OA : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, portanto, dy = 0. Ent˜ao
OA

C´alculo de
AB

− −
→
F · d→ r =

1

2x dx = x2

P (x, 0) dx =
0

OA

1
0

= 1.

− −
→
F · d→ r Temos AB : x = 1 − y, 0 ≤ y ≤ 1, portanto, dx = −dy. Ent˜ao
AB

− −
→
F · d→ r =

AB

P (1 − y, y) (−dy) + Q(1 − y, y) dy

1

=

− 2(1 − y) + y dy + 3y + 4(1 − y) dy

0
1

=

(−2 + 2y − y + 3y + 4 − 4y) dy

0
1

=

2 dy 2y
0

UFF

1
0

= 2.

IME - GMA

´
Calculo
III-A

´
Modulo
9

C´alculo de
BO

− −
→
F · d→ r =−

OB

3

− −
→
F · d→ r Temos OB : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, portanto, dx = 0. Ent˜ao

BO

− −
→
F · d→ r =−

1
OB

Q(0, y) dy = −

0

(3y + 0) dy = −

3y 2
2

1