Método da bisseção

Páginas: 6 (1396 palavras) Publicado: 17 de setembro de 2014
Determina¸˜o de ra´ de fun¸oes:
ca
ızes

M´todo da Bissec¸˜o
e
ca
Marina Andretta/Franklina Toledo
ICMC-USP

18 de outubro de 2012
Baseado no livro An´lise Num´rica, de R. L. Burden e J. D. Faires.
a
e

Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP)

sme0100 - C´lculo Num´rico I
a
e

18 de outubro de 2012

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Determina¸˜o de ra´ de fun¸oes
ca
ızes

Vamos agoranos concentrar em resolver um dos problemas mais
importantes de aproxima¸˜o num´rica: a determina¸˜o de ra´ de
ca
e
ca
ızes
fun¸oes.

Este problema consiste em encontrar uma raiz (ou uma solu¸˜o) de uma
ca
equa¸˜o da forma
ca

f (x) = 0,

para uma dada fun¸˜o f : IR → IR .
ca

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Determina¸˜o de ra´ de fun¸oes
ca
ızes


O problema de determina¸˜o de ra´ de fun¸˜es data de, pelo menos,
ca
ızes
co
1700 a.C.
Uma t´bua babilˆnica, que data deste per´
a
o
ıodo, fornece√ n´mero em
um u
base 60 equivalente a 1.414222 como aproxima¸˜o de 2, um resultado
ca
com precis˜o 10−5 .
a

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a
e

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M´todo da Bissec¸˜o
e
ca

O primeiro m´todo que veremos para resolu¸˜o deste problema, baseado
e
ca
no Teorema do Valor Intermedi´rio, ´ o M´todo da Bissec¸˜o.
a
e
e
ca
Suponha que f seja uma fun¸˜o cont´
ca
ınua, definida no intervalo [a, b], com
f (a) e f (b) com sinais opostos.
Pelo Teorema do Valor Intermedi´rio, existeum ponto p ∈ (a, b) tal que
a
f (p) = 0.

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assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do
M´todo da Bissec¸˜o
e
ca
intervalo [a,b], isto é, se f(a)×f(b) 0 e o n´mero m´ximo de itera¸˜es
a
u
a
co
MAXIT , devolve a solu¸˜o aproximada p ou uma mensagem de erro.ca
Passo 1: Fa¸a k ← 1.
c
Passo 2: Enquanto k ≤ MAXIT , execute os passos 3 a 6:
Passo 3: Fa¸a p ← (a + b)/2.
c
Passo 4: Se (b − a)/2 < TOL ou |f (p)| < TOL,
ent˜o devolva p como solu¸˜o e pare.
a
ca
Passo 5: Se f (a) ∗ f (p) > 0,
ent˜o fa¸a a ← p. Sen˜o, fa¸a b ← p.
a
c
a
c
Passo 6: Fa¸a k ← k + 1.
c
Passo 7: Escreva “o m´todo falhou ap´s MAXIT itera¸˜es” e pare.
e
o
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M´todo da Bissec¸˜o
e
ca

Note que, para aplicarmos o M´todo da Bissec¸˜o, precisamos de um
e
ca
intervalo [a, b] com f (a)f (b) < 0. A cada itera¸˜o, o tamanho do
ca
intervalo ´ dividido por dois.
e
Assim, quanto menor o tamanho do intervalo [a, b], que cont´m p, maise
r´pida dever´ ser a convergˆncia do m´todo.
a
a
e
e

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M´todo da Bissec¸˜o
e
ca

Por exemplo, para a fun¸˜o f (x) = 2x 3 − x 2 + x − 1, temos que
ca

f (−4)f (4) = −149 × 115 < 0

e

f (0)f (1) = −1 × 1 < 0.

Assim, poder´
ıamos aplicar o M´todo daBissec¸˜o usando o intervalo
e
ca
[−4, 4] ou o intervalo [0, 1].
No entanto, a escolha do intervalo [0, 1] reduz em trˆs o n´mero de
e
u
itera¸˜es necess´rias para se calcular p com uma determinada precis˜o.
co
a
a

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Exemplo

Considere a fun¸˜o f (x) = x 3 + 4x 2 − 10. Comof (1) = −5 e f (2) = 14,
ca
sabemos que h´ alguma raiz de f no intervalo (1, 2)
a
A tabela a seguir mostra os valores obtidos na aplica¸˜o do M´todo da
ca
e
Bissec¸˜o para encontrar uma raiz de f no intervalo (1, 2).
ca

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Exemplo

k
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9...
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