Logistica

Pesquisa operacional aplicada a transportes urbanos Notas de aula de 24/09/2001

Prof. Arnold I. Barnett Preparado por James S. Kang

Método de Crofton Sejam X1 e X2 variáveis independentes uniformemente distribuídas no intervalo [0, a]. Estamos interessados em calcular E[|X1 – X2|]. Por exemplo, em uma área urbana X1 pode representar o local onde ocorreu um acidente e X2 representar o local em que uma unidade de atendimento emergencial encontra-se estacionada em segmento de via de comprimento a. Neste caso, queremos saber qual é a distância (ou tempo de viagem entre os dois locais, ou seja, E[|X1 – X2|]. Poderíamos resolver este problema usando a distribuição conjunta de X1 e X2, mas o método de Crofton é outra alternativa para a solução do problema. Sendo G(a) ≡ E[|X1 – X2|], considere a seguinte questão: se o intervalo analisado fosse [0, a +ε] em que ε é relativamente pequeno, qual seria o valor de G(a +ε)? A Tabela 1 lista os valores de G(a +ε) em função dos respectivos locais X1 e X2. Tabela 1: G(a +ε)
Caso 0 ≤ X1 ≤ a, 0 ≤ X2 ≤ a a ≤ X1 ≤ a +ε, 0 ≤ X2 ≤ a 0 ≤ X1 ≤ a, a ≤ X2 ≤ a +ε a ≤ X1 ≤ a +ε, a ≤ X2 ≤ a +ε Probabilidade a a  a  . =  a +ε a +ε a +ε  ε ε .a a . = a + ε a + ε (a + ε )2
2

G(a +ε) G(a)

ε ε .a a . = a + ε a + ε (a + ε )2 ε ε  ε  . =  a +ε a +ε  a +ε 
2

ε a a +ε − = 2 2 2 ε a a +ε a+ − = 2 2 2 a+ Não definido

0 X1

a X2 Figura 1: Caso em que 0 ≤ X1 ≤ a e a ≤ X2 ≤ a +ε

a+ε

Note que G(a +ε) não foi definido para o caso em que a ≤ X1 ≤ a +ε e a ≤ X2 ≤ a +ε, porque a probabilidade deste caso ocorrer, ou seja,  ε  , é desprezível se ε for pequeno.  
 a +ε 
2

Para calcular G(a +ε) a partir da Tabela 1, utilizamos o teorema da esperança matemática (ou a regra da esperança condicional). Quando um espaço amostral é dividido em A1, A2, …, An eventos mutuamente exclusivos, o valor esperado da variável aleatória Z é calculado através de: E (Z ) = ∑ E (Z | Ai )P( Ai ) . i =1 n

1

Usando o teorema