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Integrais: Métodos de Integração por Substituição de variável e Por Partes

INTEGRAIS

Vamos considerar, inicialmente, a integração como sendo uma operação inversa da derivação. Integrar uma função f(x) é determinar uma outra F(x), cuja derivada F’(x) é igual a função que se está integrando, ou seja: F‘(x) = f(x).

Representamos a integração com o sinal: . Então

Exemplo: porque a derivada de .

Várias funções dão origem a mesma derivada, daí, dizemos que é uma integral indefinida e devemos então escrever:

Regra geral para integração de uma função polinomial

1 – Adicionamos uma unidade ao expoente da variável;

2 – Dividimos o resultado pelo novo expoente obtido;

3 – Acrescentamos a constante de integração C, onde C é um número real qualquer.

Exemplos:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Propriedades
1 -
2 -
Métodos de Integração

Nem sempre é possível, empregando-se apenas as propriedades da integração, obtermos integrais imediatas. Quando isto acontece, recorremos a algumas técnicas de integração.
Integração por Substituição
É possível quando, substituindo-se parte da função da variável que se está integrando, por outra variável, a diferencial (derivada) desta outra variável constitui a outra parte da função que se está integrando.
Exemplo

Integração por Partes

Para o cálculo da integral de u . dv por partes, devemos desdobrar a função que se pretende integrar em dois fatores u e dv.

Não existe regra fixa que nos permite a escolha da parte da função que deve constituir o fator u e qual das partes deve constituir o fator dv.

Porém, devemos nos orientar pelo seguinte:

1o) dx deve sempre fazer parte de dv;

2o) A integral de dv deve sempre ser possível para que tenhamos:

3o) Devemos incluir em dv a parte da função que se apresenta mais complexa, desde que a sua integração seja possível.

Exemplo