Livro Fundamentos da matematica elementar 1

A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, Vol. 2
Soluções
1.1 Progressões Aritméticas
1) O aumento de um triângulo causa o aumento de dois palitos.Logo, o número de palitos constitui uma progressão aritmética de razão 2. an = a1+(n−1)r = 3+(n−1)2 = 2n+1.
2) Sejam x−2r, x−r, x, x+r, x+2r os ângulos. A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo é 540o. Logo, 5x = 540o e x, que é o ângulo mediano, vale 108º.
3) − x − (3 − x ) = 9 − x − (− x )

−x −3= 9−x
Elevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas), x 2 + 6x + 9 = 9 − x x 2 + 7x = 0
As raízes dessa equação são 0 (que é estranha) e −7 (que satisfaz).
Logo, x = −7.
A progressão é 10, 7, 4, 1, −2,...
Logo, a5 = −2
4) a25 = a1+24r = 2+24.3 = 74 a41 = a1+40r = 2+40.3 = 122
Observe que do 25o termo, inclusive, ao 41o, inclusive, há 41−24 = 17 termos. (a + a 41 )17 (74 + 122)17
=
= 1 666
S = 25
2
2
5) 200 = 11.18+2; logo, 205 = 11.18+7.
400 = 11.36+4 = 11.35+15; logo, 392 = 11.35+7
As parcelas a somar são 11.18+7, 11.19+7, 11.20+7,... , 11.35+7, que formam uma progressão aritmética de razão 11, cujo primeiro termo é 205, cujo último termo é 392 e cujo número de termos é 35−17 = 18.
(205 + 392)18
A soma vale S =
= 5373
2
6a) Total: 101, 102,..., 499. São 499−101+1 = 399 números
Divisíveis por 2: 102, 104,..., 498. São 249−51+1 = 199 números.
Divisíveis por 3: 102, 105,..., 498. São 166−34+1 = 133 números.

Divisíveis por 5: 105, 110,...,495. São 99−21+1 = 79 números.
Divisíveis por 6: 102, 108,..., 498. São 83−17+1 = 67 números.
Divisíveis por 10: 110, 120,..., 490. São 49−11+1 = 39 números.
Divisíveis por 15: 105, 120,..., 495. São 33−7+1 = 27 números.
Divisíveis por 30: 120, 150,..., 480. São 16−4+1 = 13 números.-+
Preenchendo o diagrama de dentro para fora encontramos:

Divisíveis por 2

54

106
26

Divisíveis por 3

52

13
14
26

108

Divisíveis por 5

A resposta é108.

101 + 499
.399 = 119 700
2
102 + 498
Divisíveis por 2: 102, 104,...,