ListoClculoVariasVariveis

Páginas: 14 (3410 palavras) Publicado: 9 de abril de 2015
LISTÃO PROVA COLEGIADA
Centro Universitário UNA
Cálculo de Várias Variáveis
Parte 1 – Integral dupla sobre regiões retangulares
Questão (1) - A densidade populacional (em pessoas por milha quadrada) de
uma cidade costeira pode ser modelada pela seguinte função
15 000

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥+1)2 , em que x e y são medidos em milhas.

Nessas condições, pode se afirmar que a população no interior da árearetangular definida pelos vértices (0,0), (0,2), (2,0) 𝑒 (2,2) está mais próxima de:
(A) 14 000 habitantes

(B) 16 000 habitantes
(C) 20 000 habitantes
(D) 36 000 habitantes
Questão (2) - Um reservatório de base retangular 𝐷 tem seu formato modelado
conforme representado na figura a seguir

Qual das integrais abaixo expressa corretamente a capacidade do reservatório
em 𝑚3 ?
1

4

(A) ∫1 ∫3 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
4

(B) ∫3 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
2

4

(C) ∫1 ∫3 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
2

(D) ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

1

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Centro Universitário UNA
Cálculo de Várias Variáveis
Questão (3) - A carga elétrica total líquida 𝑄 existente em uma superfície 𝑅

pode ser determinada se se conhece a distribuição superficial de carga 𝜎(𝑥, 𝑦),

bastando efetuar-se o cálculo

𝑄 = � 𝜎(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅

em que 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦𝑑𝑥.

Uma lâmina fina, com superfícieretangular, apresenta densidade superficial de
carga dada por 𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −𝑥 sin 𝑦

coulombs por metro quadrado, e está

situada na região

𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ π}

Tendo em conta que 𝑥 e 𝑦 são medidos em metros, a carga elétrica total
acumulada nessa lâmina é
(A)
(B)
(C)
(D)

2

2−𝑒
2−2𝑒
2

2

−𝑒
0

Questão (4) - Uma empreiteira foi contratada para a construção de um túnel. É
exigência docontratante que o túnel seja retilíneo, que sua parte superior, o teto,
tenha o formato de um cilindro parabólico de equação 𝑧 = 10 − 0,001𝑥 2 , onde x e z

são medidos em metros, que a pavimentação (a estrada) esteja no plano xy, que
tenha 100m de comprimento, seja de mão dupla, tenha 60m de largura e que o
canteiro central que separa a via de ida da volta, esteja sobre o eixo y. O
engenheiroresponsável pelo projeto solicitou a outro membro de sua equipe a
determinação exata do volume deste túnel, para poder definir a quantidade de
equipamentos a serem instalados para fornecer ar novo para dentro do túnel,
necessário a diluição de poluentes. Qual volume, em m3, foi encontrado?
(A) 40.000

(B) 52.800

(C) 58.200

(D) 133.333

Gabarito
1. C

2. C

3. A

4. C
2

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Cálculo de Várias Variáveis
Parte 2 - Integral dupla sobre regiões genéricas
Questão (1) - Em uma cidade delimitada por uma região triangular (𝐴𝐵𝐶), a

elevação em quilômetros acima do nível do mar no ponto (𝑥, 𝑦) é modelada
por: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0,25 − 0,025𝑥 − 0,01𝑦, em que x e y são dados em quilômetros.

Nessas condições, é correto afirmar que a elevação média da cidade estámais
próxima de:
(A) 100 metros
(B) 200 metros
(C) 300 metros
(D) 400 metros
Questão (2) - Uma placa fina cobre a região triangular de vértices
(0,0); (1,0) 𝑒 (0,1). A densidade da placa é de 𝛿(𝑥, 𝑦) =
massa desta placa.

𝑥(1+𝑦)
2

. Determine a

1

(A) 8

5

(B) 48
7

(C) 24
1

(D)6

3

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Cálculo de Várias Variáveis
Questão (3) - Se 𝑑(𝑥, 𝑦) = 102 𝑥𝑒 𝑦representa a densidade ratos em uma ilha,

onde x e y são medidos em quilômetros, determine a quantidade de ratos que
vivem em uma região delimitada por 𝑥 = 0, 𝑥 = �𝑦, 𝑦 = 0 𝑒 𝑦 = 1.
(A) 20

(B) 30
(C) 40
(D) 50

Questão (4) - Numa galeria de arte será reservada uma área para exposição

de obras de arte de Picasso. Um engenheiro fez um projeto que limitou a
região para esta exposição pelas curvas 𝑦= −𝑥 2 + 14𝑥 − 40 e 𝑦 = 5. Podemos

afirmar que a integral dupla que representa tal área assim como o valor desta
área em metros quadrados correspondem respectivamente a:
9

−𝑥 2 +14𝑥−40

9

−𝑥 2 +14𝑥−40

(A) 𝐴 = ∫5 ∫5
(B) 𝐴 = ∫5 ∫5
5

−𝑥 2 +14𝑥−40

5

−𝑥 2 +14𝑥−40

(C) ∫0 ∫0
(D) ∫0 ∫0

𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒 𝐴 =
𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒 𝐴 =

𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑒 𝐴 =
𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑒 𝐴 =

50

518
3

32
3

3

220
3

4

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