ListoClculoVariasVariveis

LISTÃO PROVA COLEGIADA
Centro Universitário UNA
Cálculo de Várias Variáveis
Parte 1 – Integral dupla sobre regiões retangulares
Questão (1) - A densidade populacional (em pessoas por milha quadrada) de uma cidade costeira pode ser modelada pela seguinte função
15 000

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥+1)2 , em que x e y são medidos em milhas.

Nessas condições, pode se afirmar que a população no interior da área retangular definida pelos vértices (0,0), (0,2), (2,0) 𝑒 (2,2) está mais próxima de:
(A) 14 000 habitantes

(B) 16 000 habitantes
(C) 20 000 habitantes
(D) 36 000 habitantes
Questão (2) - Um reservatório de base retangular 𝐷 tem seu formato modelado conforme representado na figura a seguir

Qual das integrais abaixo expressa corretamente a capacidade do reservatório em 𝑚3 ?
1

4

(A) ∫1 ∫3 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
4

(B) ∫3 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
2

4

(C) ∫1 ∫3 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
2

(D) ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

1

LISTÃO PROVA COLEGIADA
Centro Universitário UNA
Cálculo de Várias Variáveis
Questão (3) - A carga elétrica total líquida 𝑄 existente em uma superfície 𝑅

pode ser determinada se se conhece a distribuição superficial de carga 𝜎(𝑥, 𝑦),

bastando efetuar-se o cálculo

𝑄 = � 𝜎(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅

em que 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦𝑑𝑥.

Uma lâmina fina, com superfície retangular, apresenta densidade superficial de carga dada por 𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −𝑥 sin 𝑦

coulombs por metro quadrado, e está

situada na região

𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ π}

Tendo em conta que 𝑥 e 𝑦 são medidos em metros, a carga elétrica total acumulada nessa lâmina é
(A)
(B)
(C)
(D)

2

2−𝑒
2−2𝑒
2

2

−𝑒
0

Questão (4) - Uma empreiteira foi contratada para a construção de um túnel. É exigência do contratante que o túnel seja retilíneo, que sua parte superior, o teto, tenha o formato de um cilindro parabólico de equação 𝑧 = 10 − 0,001𝑥 2 , onde x e z

são medidos em metros, que a pavimentação (a estrada) esteja no plano xy, que tenha 100m de comprimento, seja de mão dupla, tenha 60m de largura e que o