Listas De Aplicacao Mod 1 1 2013

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
Lista de Aplica¸ c˜ ao – Semana 1 – Solu¸c˜ ao Temas abordados: Fun¸c˜oes
Se¸c˜oes do livro: 1.1; 1.2; 1.3; 1.5; 1.6
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapostos de altura 10m e raios respectivamente 12m e 6m. Suponha que, a partir do instante t = 0, o recipiente comece a ser abastecido a uma vaz˜ao constante de modo que o n´ıvel da a´gua s(t) no recipiente ´e dada por s(t) =

2t,

para 0 ≤ t ≤ 5

8t − 30, para 5 < t ≤ 6

onde a altura ´e dada em metros e o tempo ´e dado em segundos.
6
(a) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao s(t).
10

(b) Determine, caso existam, os instantes τ ∈ [0, 6] nos quais s(τ ) = 15.

10

(c) Determine a imagem da fun¸c˜ao s.
12
Solu¸c˜ ao: (a) Para 0 ≤ t ≤ 5, o gr´afico ´e um segmento de reta de inclina¸c˜ao 2 que passa pela origem; para 5 < t ≤ 6, o gr´afico ´e um segmento de reta de inclina¸c˜ao 8 que se conecta ao segmento de reta de inclina¸c˜ao 2. Usando essas informa¸c˜oes, o gr´afico ´e como ilustrado abaixo.

(b) Do gr´afico de s(t) vemos que s(t) ´e crescente, com s(0) = 0, s(5) = 10 e s(6) = 18.
Um vez que 15 est´a entre 10 e 18, um instante τ em que s(τ ) = 15 deve estar, portanto, no intervalo (5, 6), no qual temos que s(t) = 8t − 30. Resolvendo para τ a equa¸c˜ao
8τ − 30 = 15, obtemos que τ = 45/8 ´e o u
´ nico instante para o qual s(τ ) = 15.

(c) A an´alise do gr´afico mostra que a imagem da fun¸c˜ao s ´e o intervalo fechado [0, 18].
Lista de Aplica¸c˜ao da Semana 1 - P´agina 1 de 30

√
2) Considere a fun¸c˜ao f : (0, ∞) → R dada por f (x) = 1/ x. Pode-se mostrar que a inclina¸c˜ao da reta La , que ´e tangente ao gr´afico de f (x) no ponto Pa = (a, f (a)), ´e dada
−1
por √ . A figura abaixo ilustra o gr´afico da fun¸c˜ao, a reta La e os pontos Qa e Ra
2a a em que a reta intercepta os eixos coordenados. Julgue a veracidade dos itens a seguir, justificando suas respostas.
3
−x
(a) A reta La tem equa¸c˜ao y = √ + √