Lista3 Analise

Universidade Federal do Ceará
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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SEMIPRESENCIAL
INTRODUÇÃO À ANÁLISE
Prof. Marcos Melo – Alexandre Fernandes
AULA 3: Números Reais

EXERCÍCIOS

1. Sejam racional diferente de zero, e irracional. Prove que e são irracionais. Dê exemplo de dois irracionais tais que e são racionais.
2. Sejam números racionais. Prove que e .
3. Sejam números racionais positivos. Prove que é racional se, e somente se, e forem ambos racionais.
4. Seja um polinômio com coeficientes inteiros.
a) Se um número racional (com e primos entre si) é tal que , prove que divide e divide .
b) Conclua que, quando , as raízes de são inteiras ou irracionais.
c) Use o resultado geral para provar que é irracional, para todo número primo e todo natural .
d) Prove que é irracional
5. Um número real se chama algébrico quando existe um polinômio , não identicamente nulo, com coeficientes inteiros, tal que .
a) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
b) Dada uma enumeração desses polinômios não identicamente nulos, seja, para cada , o conjunto das raízes de . Mostre que o conjunto dos números algébricos se escreve como . Conclua que é enumerável.
c) Mostre que é denso em .
6. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que o conjunto dos números transcendentes é não-enumerável e denso em .
7. Sejam conjunto não-vazios limitados de números reais. Prove que .
8. Sejam , conjuntos não-vazios de números reais, tais que e . Prove que . Prove que se, e somente se, para todo dado, podem-se obter e tais que .
9. Dado não-vazio, limitado inferiormente, seja . Prove que é limitado superiormente e que .
10. Seja não-vazio, limitado. Dado , seja . Prove que é limitado e que , . Enuncie e demonstre os que ocorre quando .
11. Dados não-vazios e limitados, seja . Prove
a) é limitado;
b) ;