Lista Exercicios Teoria Assintotica

Lista A - Exerc´ıcios de Teoria Assint´otica

(Ex. 1) Seja Xi uma v.a. i.i.d. com m´edia finita µ e variˆancia finita σ 2 .
Analise ambos os estimadores da m´edia abaixo:
2
µ
ˆ1 = X1 +2X
4
2 µ ˆ2 = 3X1 +4X
7
(a) Determine quais estimadores s˜ao viesados e o vi´es, se houver.
(b) Determine a variˆ ancia dos estimadores.
(c) Determine o erro quadr´atico m´edio (EQM) dos estimadores.
(d) Suponha que a m´edia ´e µ = 0. Qual dos estimadores ´e relativamente mais eficiente?
(e) Agora suponha que a m´edia ´e µ = 10 e o desvio padr˜ao ´e σ = 2. Qual ´e o estimador relativamente mais eficiente?

(Ex. 2) Seja Xi uma v.a. i.i.d. com m´edia finita µ e variˆancia finita σ 2 .
Analise ambos os estimadores da m´edia abaixo: n µ
ˆ3 =

Xi i=1 n−2 n Xi

i=2 µ ˆ4 = X21 + n−1
(a) Determine quais estimadores s˜ao viesados e o vi´es, se houver.
(b) Determine a variˆ ancia dos estimadores.
(c) Determine o erro quadr´atico m´edio (EQM) dos estimadores.
(d) Suponha que a m´edia ´e µ = 0. Qual dos estimadores ´e relativamente mais eficiente?
(e) Agora suponha que a m´edia ´e µ = 12 e o desvio padr˜ao ´e σ = 3. Qual ´e o estimador relativamente mais eficiente?
(f) Determine quais estimadores s˜ao assintoticamente n˜ao viesados.
(g) Determine se os estimadores s˜ao consistentes atrav´es da an´alise do EQM.

(Ex. 3) Suponha uma v.a. Xi i.i.d. com m´edia finita µ e variˆancia finita σ 2 . n ¯ 2 =
Demonstre que a variˆ ancia amostral definida por σ
ˆ 2 = n−1 i=1 (Xi − X) n −1
2
2
¯
n e um estimador assintoticamente n˜ao viesado da variˆancia i=1 (Xi − X ) ´ populacional (σ 2 ).
Passos: (i) primeiro ache E(ˆ σ 2 ), (ii) depois demonstre que limn→∞ E(ˆ σ2 ) =
2
σ .
1