lista de exercícios álgebra linear 1 estágio

Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME
Data: 10 06 2013

Disciplina:Álgebra Linear

Professor:____________________Turno: Noite
Aluno(a):____________________

1a Lista de Exercícios
1. a) Dada uma matriz A =

1 2
1/2 1

mostre que A2 = 2A.

b) Dada uma matriz A =

1 a
1/a 1

, com a = 0 mostre que A2 = 2A.

c) Generalize o item b) mostrando que An = 2n−1 A.
2. Dizemos que uma matriz A é idempotente quando existe n ∈ N tal que An = A.
a) Mostre que

1 2
1
−
0
2

é idempotente.

b) Mostre que se a = 0, então

1 a
1
−
0
a

é idempotente.

Dica: Em ambas calcule A7
3. Mostre que se A é uma matriz quadrada idempotente então A é invertível.

 k 2 2
4. Determine os valores de k para os quais a matriz  0 k 1  é invertível.
1 1 1

+0z
=8
 x +2y
−x −y
+0z
= −5
5. Determine o valor de k no sistema tenha: 
−2x −3y (k 2 − k − 2)z = k − 12
a) Uma ùnica solução;
b) Infinitas soluções;
c) Nenhuma solução.



6. Calcule o determinante da seguinte matriz: 



1

1
0
−1
2
3

2 0 3
4 1 1
1 0 0
3 −2 3
0 0 0

4
0
6
2
1











2
1 0 0
 1
1 1 3 

7. Calcule, se existir, a inversa da matriz 
 4 −2 2 −1 
−2 0 4 0
8. Umamatriz quadrada Aé ortogonal quando A.AT =
1
0
0

0 cosx senx  é uma matriz ortogonal.
A=
0 −senx cosx



a b c
1 h



1 d −1
−1
2
9. Dadas as matrizes A = eB= 2 f e g i antissimétrica e que B é simétrica. Calcule (A + B)2 .

AT .A = I. Verifique que


2
0 . Sabendo-se que A é
4

10. Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, invertíveis. Mostre que:
a) (ABA−1 )2 = AB 2 A−1
b) (ABA−1 )−1 = AB −1 A−1

2