Lista de Exercício de Cálculo

Tópicos Especiais em Cálculo
1ª Lista de Exercícios - Prof. Caitano Cintra
Pense no que disse o grande matemático húngaro George Polya (1887 – 1985): ”... A Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser apreciada e aprendida sem a participação ativa do aluno... E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais...”

1) Calcule a derivada de cada função y= f ( x) dada abaixo.
a) y=sen x + cos x
b) y=sen x cos x
2+ 3cos2x x d) y = cos 3
e) y=
1+ 4sen2x
3

c) y = 5sen 2 2 x sen2 2x+ x
f) f (x )= cos( x 2)

g)

y=e sen3x

h)

y=ln (sec x)+ tg x

i) y=x 2 tan 3x

j)

y=5x csc 2x

k)

y=1+ cotg 4x

l)

m)

n) y=ln (1+ cos 4x)

f (x )=tan 6 ( x 3− x 2)

y=e

−3x

(sen 3x+ cos 3x)

p) f (x )=sec 3x tan 2x

2) Em cada caso, ache a equação da reta tangente ao gráfico de y= f ( x) no ponto indicado
a) y=−3sen 2x , em x= π
3
π
d) y=sec(3x ), em x=
4

2

x
4

em

y=cossec

e)

x
2

x=3 π em c) y=tan 2x , em x=

3π
8

x= π
2

dy derivando implicitamente dx 3) .Encontre
a)

b) y=2cos

2

x + y =9

e) 4cos x sen y =1

b)

2

2

c) x 2−2xy+ y 3=c

x − y =4

f) cos ( x− y )=xe −x

g)

d)

sen x+ cos y=sen x cos y

√ x+ √ y=4
h)

√ xy=1+ x 2 y

4) . Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
2

a)

2

x y − =1 ,
16 9

9
P (−5, )
4

b)

x2 y2
+ =1 ,
9 36

P (−1, 4 √ 2)

c)

y 2= x3 (2− x) ,

P (1,1)

5). ( Reflexão da luz ) Um raio luminoso parte de um ponto A, incide sobre a superfície de um espelho plano, e atinge um ponto B. Use o princípio de Fermat, segundo o qual o tempo gasto pela luz deve ser mínimo, para mostrar que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão

6). Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o