Lista 3 Autovalores

LISTA DE AUTOVALORES E AUTOVETORES
1) Determine os autovalores e os autovetores da matriz
 3 −1 1 
A = − 1 5 − 1
 1 − 1 3 
2) Dada a matriz abaixo, ache os autovalores, os diagonalizável. 1 − 3
A = 3 − 5
6 − 6

autovetores e verifique se ela pode ser

3
3
4

3) Dada a matriz abaixo, ache os autovalores, os autovetores e verifique se ela pode ser diagonalizável.  − 3 1 − 1
A = − 7 5 − 1 
− 6 6 − 2
4) Determine os autovalores das seguintes matrizes:
1 2
a)
−1 4
2 2
b)
1 3
5 −1
c)
−1 3
0 1
d)
−1 0
1
2
5) Os vetores-coluna v1 = e v2 = são autovetores de uma matriz quadrada A,
1
−1 associados aos autovalores λ1 = 5 e λ 2 = -1, respectivamente. Determinar o produto Av para
4
o vetor v =
.
1
6) Determinar a matriz quadrada cujos autovalores são λ1 = 1 e λ 2 = 3 associados aos
0
autovetores v1 = − e v2 =
, respectivamente.
“A nitidez é uma conveniente distribuição de luz e sombra”.
(Goethe)

RESPOSTAS
1) λ1 = 2, v1 = a(-1,0,1), a ≠ 0 / λ 2 = 2, v2 = a(1,1,1), a ≠ 0 / λ3 = 6, v3 = a(1,1,1), a ≠ 0. Obs:
Use a equação característica do operador Det(A- λ I) = 0 para achar os autovalores, e em seguida achar os autovetores por substituição dos respectivos autovalores na mesma equação.
Não esqueça que A é a matriz da transformação.
2) λ1 = 4, v1 = a(1,1,2), a ≠ 0 ; λ 2 = λ3 =-2, v2 = a(1,1,0) + b(-1,0,1). Para A ser diagonalizável deve existir a matriz inversa da matriz dos autovetores. Como na questão o determinante da matriz dos autovetores é diferente de zero, a inversa existe, e portanto A é diagonalizável.
Sendo a matriz diagonal da transformação linear p-1Ap, onde p é a matriz dos autovetores.
3) λ1 = 4, v1 = a(0,1,1), a ≠ 0; λ 2 = λ3 =-2, v2 e v3 = a(1,1,0), a ≠ 0. Como só existem dois autovetores então a inversa da matriz dos autovetores não existe e A não é diagonalizável.
4) a) λ1 = 3, v1 = (y,y); λ 2 = 2, v2 = (2y,y). b) λ1 = 1, v1 = y(-2,1); λ 2 = 4, v2 = x(1,1). c) λ1 = λ 2 = 4, v = x(1,1). d) não existem. Obs: Começe construindo a