Geometria Analítica e Álgebra Linear 06

Lista 6 –GAAL
Marcelo Oliveira Veloso e-mail: [e-mail]
06 de Outubro de 2011

Exerc´ıcio 1 Mostre que autovetores associados a autovetores distintos s˜ ao LI.
Exerc´ıcio 2 Seja B uma matriz sim´etrica. Mostre que autovetores associados a autovetores distintos s˜ ao ortonormais.
Dica: mostre que λ1 (u · v) = λ2 (u · v).
Exerc´ıcio 3 Seja B uma matriz quadrada. Mostre que se v ´e um autovetor de B associado ao autovalor λ, ent˜ ao v ´e um autovetor de B k associado ao k autovalor λ para todo k ∈ N.
Exerc´ıcio 4 Mostre que os autovalores de B e B T s˜ ao iguais. O que ocorre com os autovetores?
Exerc´ıcio 5 Uma matriz B ´e dita nilpotente se existe k ∈ N tal que
Bk = ¯
0. Mostre que se B ´e nilpotente ent˜ ao seu u
´nico autovalor ´e λ = 0.
Exerc´ıcio 6 Suponha que B ´e invert´ıvel e que λ = 0 ´e autovalor de B.
Mostre que λ−1 ´e autovalor de B −1 .
Exerc´ıcio 7 Suponha que λ ´e autovalor de B, n × n. Mostre que λ + 1 ´e autovalor de B + In .
Exerc´ıcio 8 Verifique se a matriz B ´e diagonaliz´ avel. Em caso afirmativo determine a matriz P que diagonaliza B.



1 −2 0 0
 −2
1 0 0 

a) B = 
 0
0 1 0 
0
0 0 1
b) B =

4 −5
2 −3

1




3 −1
1
5 −1 
c) B =  −1
1 −1
3


1 0
0
d) B =  1 1 −2 
0 1 −1


1 0 0 0
 0 0 0 0 

e) B = 
 0 0 0 0 
0 0 0 1
Exerc´ıcio 9 Verifique que a soma dos autovalores das matrizes dos exemplos anteriores ´e igual ao tra¸co da matriz e que o determinante ´e o produto dos autovalores. Qual a rela¸c˜ ao entre matrizes invert´ıveis e autovalores?
Exerc´ıcio 10 Mostre que os autovalores de uma matriz sim´etrica de ordem
2 s˜ ao sempre n´ umeros reais.
Exerc´ıcio 11 Mostre que os autovalores de uma matriz sim´etrica s˜ ao sempre n´ umeros reais.
Exerc´ıcio 12 Uma matriz ´e dita ortogonal se suas colunas s˜ ao ortogonais entre si. Se uma matriz ´e ortogonal e suascolunas tem m´ odulo 1, dizemos
3 −1
1

5 −1  . Determine P que essa matriz ´e ortonormal. Seja B = −1
1 −1
3
ortonormal que diagonaliza B.