Limites e derivadas

http://pt.scribd.com/doc/625639/A-Teoria-dos-Limites-CALCULO

http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090411084705AAtnFgC são exemplos de funções diferenciáveis. A seguinte proposição e os próximos dois exemplosajudam a entender como deve ser uma função não diferenciável.
Proposição 3.1.1
Se uma função f é derivável em um ponto a, então f é contínua em a.
Prova.
Note que f é contínua em a se, e somente se,Este, de fato, é o caso quando f é diferenciável em a, pois:Como estou interessado em entender como é uma função não diferenciável num ponto, posso reformular a Proposição 3.1.1 dizendo que toda função descontínua num ponto a énão diferenciável em a.A pergunta agora é: vale a recíproca da Proposição 3.1.1? Ou seja, será que todafunção contínua em a é diferenciável nesse ponto?A resposta é negativa (como era de se esperar, pois em caso afirmativo, os conceitosde diferenciabilidade e continuidade seriam equivalentes e poderíamos ficar com apenas umdeles). Os exemplos seguintes mostram funções contínuas e não diferenciáveis em um ponto.As funções diferenciavam formam, portanto, uma classe mais seleta, ser diferenciávelé ser contínua e mais alguma coisa.
Exemplo 3.1.2
A função f (x) = |x| é contínua, mas não diferenciável, no ponto a = 0. De fato, nestecaso, o limite (3.2) em a = 0, calculado à esquerda e à direita, assume valores distintos:21

(3.4) (3.5)logo, não existe f' (0).As expressões (3.4) e (3.5) são chamadas, respectivamente, derivada à esquerda ederivada à direita de f em 0. São denotadas por f (0 -) e f' (0 +). Considerando limites laterais em(3.2) e lembrando as propriedades desses limites temos: Seja a um ponto do domínio de umafunção f e também ponto de acumulação lateral desse domínio, deixando-o à esquerda e à direita.f é diferenciável em a se, e somente se, suas derivadas laterais existem e coincidem. Neste caso, f' (a) = f (a-) = f (a +).
Exemplo 3.1.3.
A função:é contínua, mas não diferenciável, nos pontosDeixamos ao