Limite e derivada

A HISTÓRIA DO LIMITE
O conceito de limite constitui um dos fundamentos do Cálculo, uma vez que para definir derivada, continuidade, integral, convergência, divergência, utilizamos esse conceito. A sistematização lógica do Cálculo pressupõe então o conceito de limite.
Entretanto, o registro histórico é justamente o oposto. Por muitos séculos, a noção de limite foi confundida com idéias vagas, às vezes filosóficas relativas ao infinito - números infinitamente grandes ou infinitamente pequenos - e com intuições geométricas subjetivas, nem sempre rigorosas. O termo limite no sentido moderno é produto dos séculos XVIII e XIX, originário da Europa. A definição moderna tem menos de 150 anos.
A primeira vez em que a idéia de limite apareceu, foi por volta de 450 a.C., na discussão dos quatro paradoxos de Zeno. Por exemplo, no primeiro paradoxo - a Dicotomia - Zeno discute o movimento de um objeto que se move entre dois pontos fixos, A e B, situados a uma distância finita, considerando uma seqüência infinita de intervalos de tempo - T0, T1, T2,..., Tn,... - cada um deles sendo o tempo gasto para percorrer a metade da distância percorrida no movimento anterior.
Analisando o problema, Zeno concluiu que dessa maneira o móvel nunca chegaria em B. Aristóteles, 384 - 322 a.C., refletiu sobre os paradoxos de Zeno com argumentos filosóficos. Para provas rigorosas das fórmulas de determinadas áreas e volumes, Arquimedes encontrou diversas somas que contêm um número infinito de termos. Na ausência do conceito de limite, Arquimedes utilizava argumentos denominados dupla reductio ad absurdum.
O Cálculo, às vezes, foi também descrito como o estudo das curvas, das superfícies, e dos sólidos. O desenvolvimento da geometria desses objetos floresceu seguindo a invenção da geometria analítica com Pierre de Fermat e René Descartes.
Fermat planejou um método algébrico para encontrar os pontos de máximo ou de mínimo em determinadas curvas. Ele estava tentando mostrar exatamente que nos