Limites parte 2

Limites, limites laterais, funções contínuas e propriedades operatórias de limites
Exemplo:
0, se t < 0
. Esboce o gráfico de H(t) e Calcule lim H ( t) .
Considere a função H (t ) =  t→ 0
1, se t ≥ 0
Solução
O gráfico de H(t) é dado por
1

Para calcularmos lim H ( t) , devemos calcular os limites laterais. t→ 0

Se t < 0, aí quando t está perto de 0 então H(t) está perto de 0.
Se t ≥ 0, ai t perto de 0 ⇒ H(t) perto de 1.
Ou seja, pela esquerda H(t) → 0
 ∴ ∃/ lim H (t ) e, pela direita H(t) → 1

t→0
Em símbolo:

lim H( t) = 0

t → 0−

t <0

lim H( t) = 1 e t →0+ t >0

Como os limites laterais são diferentes, então não existe lim H ( t) . t→ 0

Exemplo: página 112 exercício 40 do livro texto (5ª edição do Stewart). x+4 Calcule lim x → −4 − x + 4
Solução
x+4
0
, vamos obter , que é uma indeterminação.
Se substituirmos x por 4 na função x+4 0
Nestes casos, devemos tentar simplificar a fração. Aqui, vamos lembrar que se a < 0 então |a| = - a. Portanto, para x < 4, temos x – 4 < 0 e | x – 4| = - (x – 4). Assim, x+4 − ( x + 4) lim = lim
= lim (−1) = −1 x → −4− x + 4 x→ −4 − x→ −4 − x +4

C.M.C.L. – Cálculo 1

Exemplo: página 112 exercício 46 do livro texto (5ª edição do Stewart).
4 − x 2 , se x < 2
Seja f ( x ) = 
 x − 1, se x > 2
a) Encontre lim f (x ) e lim f (x ) . x → 2−

x → 2+

b) Existe lim f ( x) ? x→ 2

c) Esboce o gráfico de f.
Solução
a) lim f (x ) = lim 4 − x 2 = 4 − (2) 2 = 4 − 4 = 0 (x à 2 -, portanto, x < 2) x → 2−

x → 2−

lim f (x ) = lim x − 1 = 2 − 1 = 1 (x à 2 +, portanto, x > 2)

x → 2+

x→ 2+

b) ∃/ limf ( x) pois os limites laterais são diferentes. x→ 2

c)

-3

-2

-1

5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5

1

2

3

4

5

Exemplo: página 112 exercício 47 do livro texto (5ª edição do Stewart).
Seja F(x ) =

x 2 −1 x −1

a) Encontre lim F(x ) e lim F(x ) x →1 +

x →1 −

b) Existe lim F(x ) ? x →1

Solução
a) Como x ? 1+ ⇒ x > 1 ⇒ x – 1> 0 ⇒ |x – 1| = x – 1 então x2 −1 x2 −1
( x + 1)( x − 1) lim F( x) = lim
= lim
= lim
= lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 x →1+