Limites de uma função

UVA

Cálculo Diferencial e Integral I Profª Cinira Fernandes Apostila 1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES

Limite de uma variável
Se |x-a|0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, x → a, lim x = a

a a+ε

a-ε

Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinhança ε de x=a. Isto é, os valores xi estão no intervalo a-e < xi 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x).

x

LIMITES NOS EXTREMOS DO DOMÍNIO São os limites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo, valores muito grandes positivos ( + ∞ ) ou negativos (– ∞ ). Simbolicamente:

lim f ( x) ou limf(x) x →− ∞ x → +∞

Ex: Calcule os limites das funções: a) lim   = x→+ ∞

1  x

b) lim   = x →− ∞

1  x

c) lim x = x→+ ∞

3

d)

x→− ∞

lim x 3 =

OPERAÇÕES COM LIMITES Supondo que lim f ( x) = f e lim g(x) = g , onde ( f e g são finitos), verificam-se x→a x →a

para os limites as seguintes propriedades: a) lim [ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) = f + g x→a x→a x →a

b) lim [ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) = f − g x→a x→a x→a

c) lim [ f ( x) × g ( x)] = lim f ( x) × lim g ( x) = f × g x→a x→a x→a

d) lim [ f ( x) ÷ g ( x)] = lim f ( x) ÷ lim g ( x) = f ÷ g com g ≠ 0 x→a x→a x→a

e) lim [ f ( x)]n = [lim f ( x)]n = f n x→a x→a

Observação importante: Uma função f(x) definida em um intervalo I, com a ∈ I, é contínua em x = a, se: lim f ( x) = f (a ) x→a Exemplo: Verificar se a função f ( x) = Resolução: Cálculo de f (3) : Cálculo do lim f ( x) : lim x→ 3

x2 − 4 é contínua em x = 3. x−2 32 − 4 =5 3−2

f (3) =

x2 − 4 ( x + 2)( x − 2) = lim = lim( x + 2) = 5 x →3 x − 2 x →3 x →3 ( x − 2)

Como lim f ( x) = f (3) , f (x) é contínua no ponto x = 3. x→ 3

Exemplo: