Lgebra 1

Universidade Católica Portuguesa

Álgebra Linear
Matemática II
Margarida Corte-Real
Margarida Macedo

Março de 2015

Álgebra Linear

Índice
1. Matrizes

2

1.1. Definição

2

1.2. Matrizes particulares

3

1.3. Matrizes quadradas

4

1.4. Igualdade de matrizes

6

1.5. Operações com matrizes

7

1.6. Transposição de matrizes

14

1.7. Operações elementares sobre matrizes

15

1.8. Característica de uma matriz

20

1.9. Inversa de uma matriz

21

2. Determinantes

27

2.1. Definição

27

2.2. Propriedades

29

2.3. Teorema de Laplace

37

2.4. Método da matriz adjunta para cálculo da matriz inversa

39

3. Sistemas de equações lineares

41

3.1. Definições

41

3.2. Sistemas na forma matricial

43

3.2.1. Resolução de sistemas e sua discussão – Método de Gauss

45

3.2.2. Resolução de sistemas de Cramer

48

4. Valores e vetores próprios de uma matriz

53

4.1. Definições

53

4.2. Determinação dos valores próprios de uma matriz

53

4.3. Determinação dos vetores próprios de uma matriz

55

Bibliografia

M Corte-Real ; M Macedo – FEG_UCP

59

1

Álgebra Linear

1. Matrizes

1.1. Definição: Matriz de ordem 𝒎 × 𝒏 é uma tabela de m.n elementos dispostos em 𝑚 linhas (filas horizontais) e 𝑛 colunas (filas verticais):
𝑎11
𝑎21
𝑎31
A = [𝑎𝑖𝑗 ] = …
𝑎𝑖1
…
[𝑎𝑚1

𝑎12
𝑎22
𝑎32
…
𝑎𝑖2
…
𝑎𝑚2

𝑎13
𝑎23
𝑎33
…
…
…
…

…
…
…
…
𝑎𝑖𝑗
…
…

𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
⋯
…
…
𝑎𝑚𝑛 ]

termo de ordem ij ou seja, que está na linha i e coluna j, simultaneamente 𝑚 × 𝑛 diz-se a ordem ou dimensão da matriz e lê-se “ 𝑚 por 𝑛 ”. Também se escreve
A𝑚×𝑛 quando se pretende indicar a dimensão da matriz.
As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas; os seus elementos, na forma genérica, por letras minúsculas acompanhadas de dois índices que indicam, respetivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento.
Os elementos principais da matriz são aqueles cujo índice da linha é igual ao índice da coluna. Exemplo:
1 −2
A=[
0
4

3
1 −2
] é uma matriz 2 × 3; ou, usando