Laplace

RESUMO
ANÁLISE DE SISTEMA EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE

Para um sinal x(t), a transformada de laplace X(s) é definida por:

O sinal x(t) de saída é dito ser a transformada inversa de laplace de X(s), sendo que:

Onde e é uma constate escolhida garantir a convergência da integral da primeira equação.

Linaridade da Transformada

A transformada de laplace é uma operação linear, mostrando que o princípio da superposição é válido:

A prova é simples, por definição:

Transformada de Laplace Unilateral

Vamos determinar a transformada de laplace do sinal mostrado abaixo:

Usando uma tabela de transformada de laplace unilateral, tempos a transformada:

A transformada de Laplace unilateral é um caso especial da transformada de Laplace bilateral na qual todos os sinais são restritos a serem causais. Consequentemente, os limites da integração podem ser considerados de 0 a infinito. Logo, a transformada de Laplace unilateral X(s) de um sina x(t) é definda por:

Existência da Transformada de Laplace
A variável s da transformada de Laplace é, geralmente, complexa e pode ser descrita por . Por definição,

Como , a integral do lado direito desta equação converge.
Logo a transformada de Laplace está garantida se a integral na expressão acima for finita para algum valor. Qualquer sinal que não cresce mais rápido que o sinal exponencial, para algum M, satisfaz a condição acima. Portanto,

1.1.2 Determinando Transformada Inversa de Laplace

A determinação da transformada inversa de Laplace utilizando alguma equação acima requer a integração do plano complexo, um tópico além do escopo deste livro. Para o nosso propósito, podemos determinar as transformadas inversas a partir da tabela de transformada de Laplace. Tudo o que precisamos é expressar X(s) como a soma das funções mais simples, nas formas listadas na tabela. A maioria das transformadas X(s) de interesse