Laplace

C´lculo II a
Slides de apoio - 2012/2013

Lu´ M. Silva ıs
Departamento de Matem´tica a Universidade de Aveiro

Conte´do u

1 Transformada de Laplace

2 Equa¸˜es Diferenciais Ordin´rias co a

3 S´ries Num´ricas e e

4 S´ries de Potˆncias, F´rmula de Taylor, e e o

S´rie de Taylor e S´ries de Fourier e e

Transformada de Laplace

Defini¸˜o ca
Defini¸˜o 1.1 ca A transformada de Laplace de uma fun¸˜o f : [0, +∞[→ R ´ a ca e fun¸˜o L{f } definida por ca
+∞

L{f }(s) =
0

f (t)e −st dt,

para os valores de s ∈ R onde o integral converge. Exerc´ 1.1 ıcio Use a defini¸˜o para determinar as transformadas de Laplace de: ca (a) f (t) = 1 (b) f (t) = t

Transformada de Laplace

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Existˆncia e
Teorema 1.1 Seja f : [0, +∞[→ R. Suponhamos que (i) f ´ seccionalmente cont´ e ınua em [0, +∞[; (ii) existem a ∈ R, M > 0 e T > 0 tais que |f (t)| ≤ Me at , Ent˜o L{f }(s) existe para s > a. a Observa¸˜o 1.1 ca (a) o teorema anterior estabelece condi¸˜es suficientes para a co existˆncia de transformada de Laplace de uma fun¸˜o; e ca (b) `s fun¸˜es que satisfazem (ii) designamos fun¸˜es de ordem a co co exponencial ` direita a
Transformada de Laplace 5

∀t ≥ T .

Fun¸˜es diferentes...transformadas iguais? co
Observa¸˜o 1.2 ca De facto fun¸˜es diferentes podem ter a mesma transformada de co Laplace. Considerem-se as fun¸˜es co  1, t = 1, t = 2  . f (t) = 1 e g (t) = 2, t = 1   0, t = 2 Verifica-se facilmente que 1 L{f }(s) = L{g }(s) = , s

s > 0.

Mas ent˜o, dada a transformada 1 , como respondemos ` quest˜o a a a s Qual ´ a fun¸˜o cuja TL ´ 1 ? e ca e s Voltaremos a este t´pico mais tarde. o
Transformada de Laplace 6

Propriedades: linearidade
Teorema 1.2 Sejam α ∈ R e duas fun¸˜es f , g : [0, +∞[→ R. Suponhamos que co existem L{f }(s), para s > sf L{g }(s), para s > sg Ent˜o: a (i) L{f + g }(s) = L{f }(s) + L{g }(s), s > max{sf , sg } (ii) L{αf }(s) = αL{f }(s), s > sf . Exerc´ 1.2 ıcio Determine a Transformada de Laplace de: (a) 1