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2.3 – PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES Vimos que existem diversos métodos para se encontrar estimadores para um parâmetro desconhecido, como o método dos momentos e o de máxima verossimilhança. Alguns desses métodos resultam em estimadores diferentes. Como, então, escolher o “melhor” estimador? Como compará-los? Iremos definir certas propriedades que o estimador deve possuir ou não, que nos irá ajudar a decidir se um estimador é melhor que o outro. Suponha que se tenha 4 estimadores do parâmetro θ, A, B, C e D, e que, para cada um, tenha se retirado várias amostras e calculado os estimadores em cada amostra. A: Estimador preciso e não viciado B: Estimador não preciso e não viciadoA: Estimador preciso e não viciado
1
B: Estimador não preciso e não viciado
1
θ
0
θ
0
0
1
2
3
4
5
↑
E ˆ θ
C: Estimador preciso e viciado
1
()
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
↑
E ˆ θ
()
6
7
8
9
10
D: Estimador não preciso e viciado
1
θ
θ
0
0
0
1
2
3
4
5
6
E ˆ θ
↑
7
()
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
↑
E ˆ θ
()
8
9
10
O estimador A é o que parece ter as melhores características. propriedades desejáveis para os estimadores.
Vamos, então, definir estas
Eˆ θ
()
θ
θ
Eˆ θ
()
2.3.1 – ESTIMADOR NÃO VIESADO (TENDÊNCIA OU VÍCIO OU VIÉS DE UM ESTIMADOR) Definição 1: Suponha uma amostra aleatória X1,...,Xn de uma densidade (ou função de probabilidade) que depende do parâmetro desconhecido θ. O estimador T = g( X ) de uma função do parâmetro θ, τ(θ), é não
~
C: Estimador preciso e viciado
D: Estimador não preciso e viciado
viciado (ou não viesado, ou não tendencioso) se E(T) = τ(θ) para todo θ ∈ Θ. A diferença B(T) = E(T) – τ(θ) é chamada de vício. Se B(T) ≠ 0, T é um estimador viciado. O vício tem a ver com a distribuição dos estimadores calculados em um número muito grande de amostras