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O estudo das integrais definidas foi motivado pelo cálculo de áreas, como já vimos na semana anterior. Nesta semana iremos estudar o cálculo de áreas mais gerais utilizando as integrais definidas.

O problema geral de área

Considere f e g funções contínuas em um intervalo [a,b] tais que f(x)≥g(x)≥0, ou seja, os gráficos de f e g estão acima do eixo x e o gráfico de f está acima do gráfico de g, conforme exemplo na figura ao lado. Como encontrar o valor da área que está abaixo do gráfico de f, acima do gráfico de g e entre as retas x=a e x=b?

Observe que a área procurada pode ser obtida descontando a área sob o gráfico da g da área sob o gráfico da f, conforme figura ao lado. Em termos de integrais definidas temos

∫abf(x)dx-∫abg(x)dx=∫abf(x)-g(x)dx.

Este problema pode ser proposto de forma mais geral, sem exigir que f(x)≥g(x)≥0. E o raciocínio anterior indica a solução deste problema.

Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [a,b] e se f(x)≥g(x) para todo x em [a,b], então a área da região limitada acima por y=f(x), abaixo por y=g(x), à esquerda pela reta x=a e à direita pela reta x=b é

A=∫ab[f(x)-g(x)]dx.

Note que o raciocínio anterior não explica de forma rigorosa a fórmula para a área, apenas indica. Para obter uma solução mais formal, pode-se estabelecer uma Soma de Riemann para a integral ∫ab[f(x)-g(x)]dx.

É importante salientar que esta fórmula fornece o valor exato da área, sem sinal.

Observação: Usualmente memorizamos essa fórmula por "integral da função de cima menos a de baixo".

Exemplos:

1) Calcular a área da região