Integrais duplas e triplas

1. Introdução
Desde sua criação, integrais tem uma infinidade de aplicações praticas, graças a elas, inúmeras descobertas foram feitas, entre elas a primeira aproximação do numero “pi”, por Arquimedes. Neste trabalho, pretende-se explicar e exemplificar algumas das aplicações práticas para integrais múltiplas e dar uma breve explicação sobre seus conceitos.
A importância das integrais múltiplas se estende da matemática para áreas da física e até mesmo da matemática no espaço quadridimensional, apesar de haver pouca aplicação prática para este ultimo.

2. Integrais Duplas
2.1. Conceito
Ao se considerar uma função , delimitada e fechada em uma região D, podemos “encher” D com formas simples como paralelepípedos. Podemos transformar o volume em uma somatória:

Ao que se aproxima do volume da região D, a diagonal desses paralelepípedos diminui continuamente, tendendo a 0 conforme o numero de paralelepípedos tende ao infinito, resultando em um limite:

Quando este limite existir, haverá uma integral dupla da função na região D, que pode ser expressa por:

2.2. Aplicações

Calculo de Área Considerando a fórmula do volume e que integrais duplas podem ser usadas para a obtenção de volume, temos h sendo dado pela função f(x,y). Em casos específicos em que f(x,y) = 1, temos e nesse caso, pela mesma fórmula que se obtém o volume, se obtém também a área.

Momento de Inércia
O momento de inércia é dado por , sendo m sua massa e r sua distancia do eixo. Ao se estender essa ideia para , sendo está a densidade continua de uma região D e aplicar o conceito de integrais duplas, temos o momento de inércia para uma distribuição de massa continua.
Podemos então definir o ponto de inércia em relação à origem, também chamado de momento polar da inercia ou momento de inércia em torno do eixo z.

Centro de Massa
Suponha-se uma lamina com centro de massa , fisicamente, isso indica que a lamina age como se toda sua massa se concentrasse nesse ponto,