Inferência estatística

Inferência

Assuma e enuncie as condições de regularidade necessárias para mostrar que os itens seguintes são válidos: 1. E∂lnfxθ∂θ2=-E∂2lnfxθ∂θ2
E∂2lnfxθ∂θ2=∂2lnfxθ∂θ2 fxθdx= ∂∂θ∂lnfxθ∂θ fxθdx
=∂∂θ∂∂θfxθfxθ fxθdx
= ∂2∂θ2fxθ∙fxθ-∂∂θfxθ∙∂∂θfxθfxθ2 fxθdx
=fxθ2∙∂2∂θ2fxθfxθ2 dx1- ∂∂θfxθ2∙ fxθfxθ22 dx
Pela expressão em 1, temos que: fxθ2∙∂2∂θ2fxθfxθ2 dx=∂2∂θ2fxθdx= ∂2∂θ2fxθ dx= ∂2∂θ2∙1=0
De 2 temos que:
-∂∂θfxθ2∙ fxθfxθ2 dx=-∂∂θfxθfxθ2∙fxθ dx
=-∂∂θlnfxθ2fxθ dx=E∂∂θlnfxθ2

2. Seja X1....Xn uma amostra aleatória de uma VA X~ Fx|θ e sejam θ o EMV de θ e Iθ a Informação de Fisher de θ. Temos então que n θ-θn→∞N0, Ifθ-1
Expandindo ln da verossimilhança em série de Taylor em torno de θ0. l'θx= l'θ0x+l''θ0xθ-θ0+...
Substituindo o EMV θ para θ e multiplicando por n. n θ-θ0=n - l'θ0xl''θ0x= -1n l'θ0x1nl''θ0x
Assumindo que I(θ0)=E[l'θ0x]2=1vθ denota o número de informação para uma observação, aplicando o TCL e a lei fraca dos grandes números,
-1n l'θ0xdist N[0 , I(θ0)] 1nl''θ0xprobI(θ0)
Considerando que W ~ N[0 , I(θ0)], então n θ-θ0 converge em distribuição para WI(θ0) ~ N0 ,1I(θ0) , provando o teorema. 3. Seja X1....Xn uma amostra aleatória de uma VA X~ Fx|θ . Considere as hipóteses H0: θ= θ0 contra H0: θ≠ θ0 , então a distribuição da estatística -2lnλx converge para uma distribuição quiquadrado com 1 grau de liberdade quando o tamanho da amostra tende ao infinito onde λT é a estatística do teste da razao de verossimilhança .
-2lnλx n→∞ χ12 em distribuição
Expandindo lnLθx=lθx em série de Taylor em torno de θ, lθx= lθx+l'θxθ-θ+l''θxθ-θ2!2+...
Mas λx=lθ0xlθx
-2lnλx=-2 lθ0x+2 lθx
Como l'θx=0
-2lnλx≅-l''θxθ-θ2
O denominador é a informação observada I(θ) e 1n Iθ→I(θ0)
Utilizando o teorema da eficiência assintótica dos EMVs e o teorema de Slutsky, concluímos que -2lnλx n→∞