Imposto De Renda

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
O c´ alculo do imposto de renda
Nesse pequeno texto vamos explorar os conceitos de limites laterais e continuidade atrav´es de um exemplo simples, relacionado ao c´alculo do imposto de renda. A fim de simplificar a exposi¸c˜ao e os c´alculos, vamos considerar a situa¸c˜ao de um pa´ıs imagin´ario, onde a moeda se chama cruzeta e o imposto ´e taxado segundo a regra abaixo.
Regra do imposto: quem ganha at´e 10 mil cruzetas ´e isento; quem ganha mais de 10 mil e at´e 20 mil cruzetas paga 10% da renda de imposto; os demais pagam 20% da renda.
A partir das informa¸c˜oes acima, queremos definir uma fun¸c˜ao que fornece o valor I(r) de milhares de reais pago por um contribuinte que ganha r mil cruzetas por mˆes. Antes de apresentar a express˜ao da fun¸c˜ao I vamos observar que o dom´ınio dessa fun¸c˜ao ´e dom(I) = {r ∈ R : r ≥ 0} = [0, +∞).
De fato, como r denota a renda do contribuinte, ´e evidente que essa vari´avel n˜ao pode assumir valores negativos. Estamos incluindo no dom´ınio o ponto r = 0 para contemplar todas as pessoas que n˜ao possuem renda. Lembrando agora que a maneira anal´ıtica de calcularmos
10 por cento de um n´ umero ´e multiplic´a-lo por 0, 1, podemos escrever a express˜ao da fun¸c˜ao
I como se segue:

se 0 ≤ r ≤ 10,

 0,
I(r) =
0, 1r , se 10 < r ≤ 20,


0, 2r , se r > 20.

Note que a express˜ao que define I em cada uma das 3 faixas ´e uma fun¸c˜ao linear. Contudo, a fun¸c˜ao I como um todo n˜ao ´e uma fun¸c˜ao linear. Embora o gr´afico de I possa ser facilmente esbo¸cado, vamos continuar a nossa exposi¸c˜ao analisando as propriedades da fun¸c˜ao I sem o seu gr´afico. Inicialmente, vamos tentar responder `a seguinte pergunta:
Pergunta 1: Qual o valor aproximado do imposto pago por um contribuinte que ganha aproximadamente 15 mil cruzetas?
Do ponto de vista matem´atico, uma maneira de responder `a essa pergunta ´e tentar calcular o limite lim I(r). Uma dificuldade inicial neste