homotopia

Homotopia
• Homotopia
(X, τX ), (Y, τY )
I = [0, 1]
Uma homotopia de mapeamentos X → Y ´ um mapeamento e F : X × I → Y : C0
• Mapeamentos homot´picos o 0 (X, Y ) f0 , f1 ∈ C f0 ´ homot´pico a f1 , denotado por f0 e o

f1 , se existe uma homotopia

F :X ×I →Y

tal que

F (x, 0) = f0 (x)
F (x, 1) = f1 (x), ∀x ∈ X
• Res: f g ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em C 0 (X, Y ) e ca e Demonstra¸˜o. ca (i) Reflexividade
Seja f ∈ C 0 (X, Y ). Definimos
F :X ×I →Y
F (x, t) := f (x)
Temos que ∀x ∈ X, F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = f (x) (∗). Al´m disso, sendo f cont´ e ınua tem-se
−1 (U ) ∈ τ , ∀U ∈ τ . Por defini¸˜o, temos que que f ca X
Y
F −1 (U ) = f −1 (U ) × I ∈ τX×I
i.e. F ´ cont´ e ınua (∗∗). De (∗) e (∗∗) temos que F ´ uma homotopia de f e f , i.e. f e (ii) Simetria
Seja f g. Ent˜o existe a f.

F : X × I → Y : C 0 , F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x)
Defina
F : X × I → Y, F (x, t) := F (x, 1 − t)
Ent˜o F (x, 0) = g(x), F (x, 1) = f (x), ∀x ∈ X. Al´m disso F = F ◦ (I, ϕ) com ϕ : I → a e
R, ϕ(t) := 1 − t cont´ ınua. F ´ cont´ e ınua pois ´ a composi¸˜o de fun¸˜es cont´ e ca co ınuas. Isto ´ F ´ e e uma homotopia entre g e f , i.e. g f .

(iii) Transitividade
Sejam f g e g h. Ent˜o existem a F : X × I → Y : C 0 , F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x)
G : X × I → Y : C 0 , G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x)
∀x ∈ X. Seja
H :X ×I →Y
H(x, t) :=

F (x, 2t), 0 ≤ t ≤ 1/2
G(x, 2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1

H ´ cont´ e ınua ( ) e al´m disso satisfaz H(x, 0) = F (x, 0) = f (x), e h(x), ∀x ∈ X, i.e. H ´ uma homotopia entre f e h, i.e. f h. e De (i), (ii), (iii) temos que ´ rela¸˜o de equivalˆncia em C 0 (X, Y ). e ca e H(x, 1) = G(x, 1) =

• Obs:
A prova ´ um caso particular do resultado a seguir: e Sejam
X = F1 ∪ F2
F1 , F2 fechados em X f1 : F1 → Y : C 0 f2 : F2 → Y : C 0 com f1 |F1 ∩F2 = f2 |F1 ∩F2 h:X→Y f1 (x), x ∈ F1 h(x) = f2 (x), x ∈ F2
´ cont´ e ınua.
Demonstra¸˜o.
ca
−1
−1
−1
e