Historia

A BRAQUISTÓCRONA
UM POUCO DE HISTÓRIA
Denomina-se braquistócrona a trajetória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se aqui que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é, obviamente, a reta que os une, mas sim, qual trajetória é percorrida no menor tempo.
O problema acima foi proposto inicialmente em Junho de1696 pelo cientista Johann
Bernoulli que anunciou possuir uma solução e desafiou os cientistas da época para encontrarem esta solução para o problema num prazo de seis meses.
Em 1697 foram propostas 4 demonstrações diferentes, todas com o mesmo resultado:
Jacob Bernoulli, Leibniz, Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).
Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir o percurso mais rápido de uma esfera
(por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha reta, mas uma curva conhecida como cicloide.

DEMONSTRAÇÃO DE BERNOULLI
Bernoulli se baseou no Princípio de Fermat que afirma que o caminho mais curto entre dois pontos é o que segue a trajetória de um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajeto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumenta segunda uma aceleração constante (a força da gravidade g).
Considere o sistema de coordenadas definido abaixo e acurva que une os pontos AB, note que o eixo coordenado y foi orientado no sentido oposto ao usual. Isto é conveniente pois, neste caso, a força exercida pela gravidade fica orientada no sentido positivo. Além disso, escolhemos o sistema de coordenadas de modo que o ponto A fique localizado na origem.
As coordenadas descreve a curva AB são:

(x,y)

da função que

Equação 1
Equação 2

A curva descrita pelas equações 1 e 2 é também chamada de cicloide