hhhh

´
Calculo Diferencial - 2013.2
Lista II
Novembro - 2013
Equipe de Matem´tica, Bacharelado em Ciˆncia e Tecnologia, UFMA - Campus Cidade a e
Universit´ria
a

Derivada de ordem superior
O enuciado a seguir refere-se as quest˜es de 1-12.Calcule o a derivada de ordem superior at´ o e ordem n dada:
1
7 y = ln x , n = 3

1 y = 3x4 − 2x, n = 5
√
2 y = 3 − x2 , n = 3
3 y=

1
,n
x−1

=4

4 y = e2x+1 , n = 3
5 y = ln 2x, n = 4
6 y = −2 cos x , n = 5
2

8 y = xex , n = 7
9 y = cossech(ln x), n = 4
√
10 y = arctan(x) − ln ( 1 − x2 ), n = 5
11 y = cosh9 (x), n = 3
12 y = ln

1 + sin x
,n = 3
1 − sin x

13 Suponha que f : R → R ´ diferenci´vel e considere a fun¸ao dada por y = x2 f (x2 + 1). e a c˜ dy
= 2xf (x2 + 1) + 2x3 f (x2 + 1) dx d4 y
(b) Encontre 4 quando x = 1 dx (a) Mostre que

14 Encontre φ (φ(x)) e (φ(φ(x))) em cada fun¸˜o dada abaixo. ca (a) φ(x) = x2 + 1

(c) φ(x) = ln (x2 + 1)

(b) φ(x) = sin x

(d) φ(x) =

(e) φ(x) = ex

2

1 x 15 Dˆ exemplos de fun¸˜es φ que satisfazem a condi¸ao φ (φ(x)) = (φ(φ(x))) , para todo x no e co c˜ dom´ ınio de φ.

16 Considere uma part´ ıcula que se desloca sobre o eixo x com fun¸ao posi¸ao c˜ c˜ x = a cos 3t + b sin 3t, onde a e b s˜o constantes reais. a a) Mostre que a acelera¸˜o ´ proporcional a posi¸˜o. ca e ca b) Calcule a acelera¸˜o no instante t = ca a velocidade v = 36.

π
6

sabendo que neste instante sua posi¸ao ´ x = 4 c˜ e

c) Determine a acelera¸ao α(t) em fun¸˜o do instante t. c˜ ca
17 Seja f : R → R diferenci´vel at´ 2a ordem e seja h dada por h(t) = f (sin 6t). a e
(a) Expresse h (t) em termos de t, f (cos 3t) e de f (cos 3t).
(b) Calcule h ( π ) admitindo que f ( 1 ) = 3 e f ( 1 ) = 8.
9
2
2
e c˜ 18 Sejam a, b ∈ R constantes reais. Se y = eαx , onde α ´ uma raiz da equa¸ao λ2 + aλ + b = 0, verifique que d2 y dy +a
+ by = 0 dx2 dx
19 Seja ω uma constante real. Se y = cos ωt, verifique que d2 y
+