geometria analitica

Capítulo 1
GEOMETRIA ANALÍTICA
1.1 Introdução
Neste capítulo estabeleceremos os conceitos básicos para o estudo do Cálculo em várias variáveis. Não pretendemos fazer um estudo detalhado de vetores ou de Geometria Analítica, mas recomendamos aos leitores, consultar a bibliografia como complemento necessário deste capítulo.

1.2

Espaços Euclidianos

O espaço euclidiano n-dimensional (n ∈ N) é o produto cartesiano de n fatores iguais a R:
Rn = R × R × . . . . . . × R.
1. Se n = 1, R1 = R é a reta coordenada.
2. Se n = 2, R2 é o plano ccordenado.
3. Se n = 3, R3 é o espaço coordenado tridimensional.

1.3

O Espaço Euclidiano Tridimensional

O espaço euclidiano tridimensional é definido pelo conjunto:
R3 = {(x, y, z) / x, y, z ∈ R}.
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CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA

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Logo, os elementos de R3 são ternos ordenados. Dados (x, y, z) ∈ R3 e
(x1 , y1, z1 ) ∈ R3 , tem-se (x, y, z) = (x1 , y1 , z1 ) se, e somente se, x = x1 , y = y1 e z = z1 .
Em R3 podem ser definidas duas operações.
Definição 1.1. Dados (x, y, z), (x1 , y1 , z1 ) ∈ R3 e β ∈ R, definimos:
1. Adição de elementos de R3 :

(x, y, z) + (x1 , y1 , z1 ) = (x + x1 , y + y1 , z + z1 ).
2. Multiplicação de elementos de R3 por escalares de R: β (x, y, z) = (β x, β y, β z).
Estas duas operações satisfazem às seguintes propriedades:
Proposição 1.1. Dados x, y, z e 0 = (0, 0, 0) elementos de R3 e α, β ∈ R; então: 1. x + y = y + x
2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. x + 0 = 0 + x = x.
4. α (β x) = (α β) x
5. β (x + y) = β x + β y
6. (α + β) x = α x + β x
7. 1 · x = x · 1 = x
8. ∃ − x ∈ R3 tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.
9. Se x = (x, y, z), então −x = (−x, −y, −z)
Observação 1.1. Em geral, um conjunto onde são definidas as operações de adição e multiplicação por um número real (escalar), como na definição anterior, satisfazendo às propriedades anteriores é chamado espaço vetorial sobre R e seus elementos são chamados vetores. Logo, R3 é um espaço vetorial (de dimensão 3) sobre R.
De forma analoga, R2 é um espaço