Gauss

Cap´ıtulo 2

Lei de Gauss
2.1

Fluxo El´ etrico • O fluxo ΦE de um campo vetorial E constante perpendicular a uma superf´ıcie A ´e definido como
ΦE = EA

(2.1)

• Fluxo mede o quanto o campo atravessa a superf´ıcie.
Mede densidade de linhas de campo.
Figura 2.1: Fluxo de E constante atrav´es de A perpendicular. (Serway)

• O fluxo ΦE de E constante formando um ˆangulo θ com A ´e definido como
ΦE = EA cos θ = E · A

(2.2)

• Mede o quanto a componente perpendicular do campo, i.e. E cos θ, atravessa a superf´ıcie A. Ou, similarmente, o quanto o campo E atravessa a comFigura 2.2: Fluxo de E constante atrav´es ponente normal da ´ area, i.e. A cos θ. de A formando ˆangulo θ. (Serway)

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CAP´ITULO 2. LEI DE GAUSS

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• Generalizando para um campo el´etrico qualquer e uma superf´ıcie qualquer, o fluxo el´etrico ΦA es E atrav´ de A ´e definido como
ΦA
E ≡

E · dA

(2.3)

A

onde dA ´e o vetor ´ area perpendicular a` superf´ıcie.
Novamente E · dA = E dA cos θ, onde θ ´e o ˆangulo entre E e dA, conforme Fig. 2.3
• Para θ < 90o , Φ > 0, fluxo saindo.
• Para θ > 90o , Φ < 0, fluxo entrando.
• Para θ =

2.2

90o ,

Figura 2.3: Fluxo el´etrico atrav´es da superf´ıcie A. O fluxo ´e positivo, zero e negativo nos pontos 1, 2 e 3 respectivamente, de acordo com o ˆangulo θ. (Serway)

Φ = 0, sem fluxo.

Lei de Gauss

A Lei de Gauss relaciona o fluxo el´etrico atrav´es de uma superf´ıcie fechada A com a carga el´etrica qin dentro da superf´ıcie
ΦA
E ≡

E · dA =
A

qin ǫ0 (Lei de Gauss)

(2.4)

A Lei de Gauss ´e uma das Eqs. de Maxwell, i.e. ´e uma lei fundamental do eletromagnetismo.
Vamos mostrar que a Lei de Coulomb para cargas pontuais implica a Lei de Gauss. Nos exemplos, ser´a trivial mostrar que a Lei de Gauss implica a Lei de Coulomb e, portanto, elas s˜ao equivalentes.
Primeiramente, considere uma carga pontual como na
Fig 2.4, cujo campo el´etrico a uma distˆancia r ´e dado pela Lei