Função de duas variáveis

Capítulo 4
Funções de duas variáveis
4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos
Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D → R com D ⊂ Rn = R × · · · × R.
Ou seja, uma função cujo domínio D (ou D(f)) é um subconjunto de Rn e seu contradomínio é R.
Exemplo:
1. f : R2 → R, (x, y) 7→ 2x + 3y
D = R, é uma função real de duas variáveis (é também uma função linear).
2. f : R3 → R, (x, y, z) 7→ x2 + 3y + z
D = R3, é uma função real de três variáveis (é também uma função polinomial)
3. f : R3 − {(0, 0, 0)} → R, (x, y, z) 7→
2x
x2 + y2 + z2
D = R3−{(0, 0, 0)} ⊂ R3 é uma função real de três variáveis (é também uma função racional, isto é, quociente de duas funções polinomiais).
Usamos, também, a notação ( mais resumida) para representar funções reais de n variáveis; y = f(x1, · · · , xn)
Neste caso D(f) é o conjunto D(f) = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn; f(x1, · · · , xn) ∈ R}
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4.2 Domínio - Representação Gráfica
Exemplo : Determine e represente geometricamente os domínios das funções
1. f(x, y) = 3x2 + 1
D(f) = R2
O x y Representação gráfica
Figura 1
2. f(x, y) =
3x2 − 1 x2 + y2 + 1 x2 + y2 + 1 = 0, não tem solução, logo D(f) = R2.
Representação gráfica: Figura 1
3. f(x, y) =
3x2 + y x2 + y2 x2 + y2 = 0. Como x2 ≥ 0 e y2 ≥ 0 então x2 + y2 = 0 ⇔ x2 = 0 e y2 = 0
⇔ x = 0 e y = 0.
Logo D(f) = R2 − {(0, 0)}. x y
O
Representação gráfica
4. f(x, y) = x3 x − y
D(f) = {(x, y) ∈ R2; x − y 6= 0}, ou seja, todo o plano exceto a 1a bissetriz. x y
O
Representação gráfica y = x
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 41
5. f(x, y) =
2x + y
√x2 − y
D(f) = {(x, y) ∈ R2; x2 > y} x y O
Representação gráfica y = x2
6. f(x, y) = ln
‚
x − y y − 1
Œ
D(f) =
¨
(x, y) ∈ R2; x − y y − 1
> 0
«
equivalente a x − y > 0 e y − 1 > 0 ou x − y < 0 ou y − 1 < 0. x y
O
Representação gráfica y = x y = 1
7. f(x, y) = arcsec(x2 + y2)
D(f) = {(x, y) ∈ R2; x2+y2 ≤ −1 ou