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Funções racionais
Os polinómios podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinómios. No entanto, se dividirmos polinómios nem sempre obteremos outro polinómio. Esse quociente é chamado função racional, isto é, uma função racional f(x) é do tipo f(x) = n(x) / d(x), onde n(x) e d(x) são polinómios. Se o denominador d(x) fôr uma constante não nula, esse quociente será ele próprio um polinómio. Assim, os polinómios estão incluídos entre as funções racionais.
Evidentemente, nos pontos onde d(x) = 0 a função f não está definida e, portanto, o maior domínio possível de uma função racional é constituído pelo conjunto dos números reais exceptuando-se esses pontos. Os zeros de d(x) são chamados pólos ou pontos singulares da função f .
Como os polinómios, as funções racionais apresentam um comportamento característico quando x cresce em valor absoluto. Além disso é importante, também, estudar o comportamento dessas funções em torno dos seus pontos singulares pois, em redor desses pontos, podem ocorrer mudanças bruscas de sinal e crescimentos ilimitados. São esses pontos ainda, que dão origem às assíntotas verticais do gráfico de uma função, caso essas assíntotas existam.
O objectivo desta secção é estudar o comportamento de uma função racional em torno dos seus pontos singulares e também o seu comportamento no infinito. Analisaremos, separadamente, os casos em que o grau do numerador é menor, igual e maior que o grau do denominador.
De um modo geral se o grau do numerador fôr maior ou igual ao grau do denominador, podemos escrever n(x) = d(x) q(x) + r(x) onde o grau de r(x) é menor que o grau de d(x), o que nos dá : f(x) = q(x) + r(x) / d(x)
Essa forma de exprimir a função f(x) é ideal para estudarmos o seu comportamento no infinito. Como o grau do denominador da segunda parcela é maior do que o do numerador, este termo tende para zero quando |x|→∞, o que nos leva a