Funçao Logaritima

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 0<a<1. Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:

1) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x
1/4
1/2
1
2
4
y
-2
-1
0
1
2

2) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x
1/4
1/2
1
2
4
y
2
1
0
-1
-2

Nos dois exemplos, podemos observar que
a) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
b) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1;
c) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1
0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos de equações logarítmicas:
1) log3x =5 (a solução é x=243)
2) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)
3) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)
4) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)

Alguns exemplos resolvidos:
1) log3(x+5) = 2
Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5 log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}.

2) log2(log4 x) = 1
Resolução: condição de existência: x>0