Func Parte3 handout

6. Optimização de funções reais de duas variáveis reais
Generalidades

De…nições (extremos absolutos ou globais): Seja f (x, y ) uma função real de duas variáveis reais e (x0 , y0 ) 2 Df .
1

f tem um máximo absoluto em (x0 , y0 ) se

8 (x, y ) 2 Df , f (x, y )

f (x0 , y0 ) ;

neste caso, (x0 , y0 ) diz-se maximizante absoluto de f e f (x0 , y0 ) diz-se máximo absoluto de f .
2

f tem um mínimo absoluto em (x0 , y0 ) se

8 (x, y ) 2 Df , f (x, y )

f (x0 , y0 ) ;

neste caso, (x0 , y0 ) diz-se minimizante absoluto de f e f (x0 , y0 ) diz-se mínimo absoluto de f .
Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

II. Funções reais de duas variáveis reais

ISCAC – 2014/2015

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De…nições (extremos relativos ou locais): Seja f (x, y ) uma função real de duas variáveis reais e (x0 , y0 ) 2 Df .
1

f tem um máximo relativo em (x0 , y0 ) se existe δ > 0 tal que

8 (x, y ) 2 Df \ Vδ (x0 , y0 ) , f (x, y )

f (x0 , y0 ) ;

neste caso, (x0 , y0 ) diz-se maximizante relativo de f e f (x0 , y0 ) diz-se máximo relativo de f .
2

f tem um mínimo relativo em (x0 , y0 ) se existe δ > 0 tal que

8 (x, y ) 2 Df \ Vδ (x0 , y0 ) , f (x, y )

f (x0 , y0 ) ;

neste caso, (x0 , y0 ) diz-se minimizante relativo de f e f (x0 , y0 ) diz-se mínimo relativo de f .

Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

II. Funções reais de duas variáveis reais

ISCAC – 2014/2015

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Observações:
1

Um extremo absoluto é sempre também um extremo relativo. Mas um extremo relativo pode ou não ser um extremo absoluto.

2

Um máximo absoluto, quando existe, é único; analogamente, um mínimo absoluto, quando existe, é único. Mas uma função pode ter vários máximos relativos e vários mínimos relativos.

3

Um extremo de f pode ser atingido em vários pontos do seu domínio; por exemplo, f pode ter dois maximizantes absolutos, (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), onde atinge o mesmo máximo absoluto, f (x1 , y1 ) = f (x2 , y2 ).

Exemplo: Pretendemos veri…car por de…nição, que:
(a) f (x, y ) = 1 + x 2 + y 2 tem mínimo