Formação

base e tranformação linear

Trabalho de graduação apresentado à disciplina de Álgebra linear – do curso de Matemática da UFPR.

Turma: C

Professor (a): Eduardo Outeiral Correa Hoefel

Curitiba

outubro de 2007

Problema 1. Defina o conceito de base de uma espaço vetorial.

O subconjunto BE, será uma base do espaço vetorial E se B for L.I. e B gerar E. Ou seja, quando qualquer vetor uE puder ser escrito como combinação linear dos elementos da base, e quando os elementos da base não forem combinações lineares um do outro.

Problema 2. Defina o conceito de transformação linear entre espaços vetoriais.

Transformação linear é uma função cujo domínio está em um espaço linear e cujos resultados estão em outro espaço linear. Considerando A o espaço do domínio e B o espaço dos valores, temos a representação simbólica de uma transformação T:

A transformação T para ser linear tem que satisfazer as seguintes propriedades:

Problema 3. Encontre uma base para cada um dos espaços abaixo e determine sua dimensão. Prove que o conjunto dado como resposta é realmente uma base do espaço.

a) E = ;

Uma base para é a base canônica;

B = {,, ... ,}

com;

= (1,0,...,0), = (0,1,...,0), ... , = (0,0,...,1)

O subconjunto BE, será uma base do espaço vetorial E, se B gera E e B for L.I.

Primeiro vamos provar que B gera E:

Para B gerar E, qualquer vetor uE será combinação linear dos vetores da base.

Logo;

Sendo u = (,,...,)

(,,...,) = + + ... +

(,,...,) = (1,0,...,0) + (0,1,...,0) + ... + (0,0,...,1)

(,,...,) = (,0,...,0) + (0,,...,0) + ... + (0,0,...,)

logo;

(,,...,) = (,,...,)

Portanto B gera E.

Vamos provar que B é L.I.

+ + ... + =

(1,0,...,0) + (0,1,...,0) + ... +(0,0,...,1) =

(,0,...,0) + (0,,...,0) + ... + (0,0,...,) =

(,,...,) =

Temos então que;

= = ... = = 0

logo B é L.I.

Portanto B é base para o espaço E, e a dimensão de E é n.

b) F = {polinômios pares