Formas quadraticas e funçoes concavas e convexas

Formas quadráticas positivas definidas (negativas definidas) e
Funções convexas (funções côncavas)

Ricardo Sá Earp
Luana Sá
Débora Mondaini
Departamento de Matemática
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

1. Formas quadráticas positivas definidas (negativas definidas)
Sejam x  ( x1 ,..., xn ) e y  ( y1 ,..., yn ) 

n

. O produto escalar usual de

n

é

x, y  x1 y1  ...  xn yn .

Seja A  (aij ) , aij , a ji 

, aij  a ji , i, j  1,..., n uma matriz real simétrica n  n .

A expressão Q( x) : Ax, x 

n

a xx

i , j 1

ij i

j

se chama de forma quadrática associada à

matriz A.


Dizemos que Q é positiva definida se Q( x)  Ax, x  0 , x 



Dizemos que Q é estritamente positiva definida Q( x)  0 , x 



Dizemos que Q é negativa definida se Q( x)  0 , x 

n

n

. n , x  0.

.

Assim, Q é negativa definida se, e somente se a forma quadrática associada à matriz  A é positiva definida.


Dizemos que Q é estritamente negativa definida se, e somente se a forma



quadrática associada à matriz  A é estritamente positiva definida.
Dizemos que Q é indefinida se existem x  n e y  n tal que
Q( x)  Ax, x  0 e Q( y)  Ay, y  0 .

Obs.: (i) Dizemos que uma matriz simétrica A é positiva (negativa) definida se a forma quadrática associada Q é positiva (negativa) definida.
(ii) Q( x)  Ax, x  t xAx , onde t x é a transposta de x .
Fatos de Álgebra Linear:
Seja A uma matriz real simétrica n  n . Segue:






Todos os autovalores de A são reais.
A é positiva (negativa) definida se, e somente se todos os autovalores de
A são positivos (negativos) ou nulos.
A é estritamente positiva (estritamente negativa) definida se, e somente se todos os autovalores de A são estritamente positivos (estritamente negativos). A é indefinida se, e somente se pelo menos um dos autovalores de A é positivo e pelo menos um dos autovalores de A é negativo.

OBS.: Se os autovalores da matriz n  n simétrica real A associada a uma forma quadrática Q são