fisicaIII

CÁLCULO DO CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO EM UMA CASCA CONDUDORA
DELGADA ELETRIZADA
Fís. Alberto Ricardo Präss
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO
!
!
D = !oE onde: !
D é a densidade de fluxo elétrico
! é a permissividade do meio
!
E é o campo elétrico
LEI DE GAUSS e o FLUXO ELÉTRICO SOBRE UMA SUPERFÍCIE FECHADA
A integral de superfície da componente normal da densidade de fluxo
!
elétrico D sobre qualquer superfície fechada é igual à carga englobada por esta superfície.

"
!

S

! !
D • ds = " "dv = Q
!
V

Suponha que uma carga positiva Q esteja distribuída uniformemente sobre uma casca esférica imaginaria de raio r1. O meio é o ar.

!
Aplicando-se a lei de Gauss através da integração de D sobre uma superfície esférica (de raio r1–dr) imediatamente inferior à casca carregada, temos !

!

" D • ds = 0
!
! !
" E • ds = 0
"
!
! !
" " E • ds = 0
!
S

S

o

o

S

E=0

!
Pois a carga englobada é zero. Segue da simetria que E no interior da casca é zero.
Aplicando-se a lei de Gauss na casca esférica (de raio r1+dr) imediatamente exterior a casca, temos, desprezando os infinitésimos (decorrentes da conversão de coordenadas esféricas para retangulares),
! !
! o " E • ds = ! o E4# r12 = Q
S

! o E4# r12 = Q
Q
E=
4 ! o# r12
1 Q
E=
4#! o r12
Q
E=k 2 r1 Este valor de campo é idêntico àquele obtido a uma distancia r1 de uma carga pontual Q. Concluímos, portanto, que o campo fora de uma casca carregada é o mesmo se a carga Q estivesse concentrada no centro.
Resumindo, o campo em qualquer lugar devido à casca esférica carregada é:

E = 0 para r ! r1 , dentro da casca
Q
E=k 2 para r " r1 , fora da casca r Gráfico do campo elétrico E em função da distancia r.
O potencial absoluto para uma distancia r fora da casca é dado por

! !
V = ! # E.dr r "

Substituindo o valor de E dado por
Q
E=k 2 r Então, temos r dr kQ
=
r2 r "

V = !kQ #

Na casca, onde r=r1, temos

V=

kQ
r1