Fisica experimental
TEXTO COMPL. – REGRAS DE L’HOSPITAL
Nos tópicos 1 até 3 da aula 03 foram vistos limites de algumas funções que têm a forma indeterminada 0 0, este texto tem o objetivo aplicar a derivada no cálculo de limites que apresentam não só essa forma indeterminada como outros tipos de indeterminações, tais indeterminações serão definidas a seguir; os métodos que permitem remover as indeterminações são decorrentes dos resultados conhecidos como “as regras de L’Hospital (1)”. Vale lembrar que o x →c x →c
x →c
lim
f (x) g(x)
tem a forma indeterminada c+ ,
−∞
0 0
se
lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0, onde c pode ser substituído por c − ,
ou
+∞
(conforme foi visto nos tópicos 1 até 3 da aula 03), como nos exemplos:
3 lim x + 1 x → −1 x 4 − 1
e
lim sen x . x→0 x
A relação das formas indeterminadas é dada a seguir:
0, 0 ±∞ , ±∞
0. ( ±∞ ) ,
±∞ ∞,
00 ,
1±∞
e
( ±∞ )0 .
Por exemplo:
3 x tem a forma − ∞ , pois lim x = −∞ e lim x2 + x2 = +∞; 2 +∞ x→−∞ x → −∞ x +x (b) lim x sen 1 tem a forma 0.( +∞ ), pois lim sen 1 = 0 e lim x = +∞; x x x →+∞ x →+∞ x→+∞ x = +∞ tem a forma +∞ − ∞, pois lim (c) lim x − 2 1 + + x−2 x − 2 x − 4 x →2 x →2 1 = +∞; lim 2 x →2 + x − 4 (d) lim x sen x tem a forma 00 , pois lim x = 0 e lim sen x = 0;
(a) lim
x →−∞ 3
2
e
x →0 +
x →0 +
x →0 +
(e) lim
x →0
1 sen x (cos x)
1 x
tem a forma
1∞ , pois lim cos x = 0 e x→0 x→+∞
x →0
lim
1 = ∞; sen x
(f) lim x x→+∞ tem a forma
( +∞ )0 , pois
lim x = +∞ e
x →+∞
lim 1 = 0. x
O teorema seguinte será demonstrado no final deste tópico.
Teorema (Primeira Regra de L’Hospital) 1. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto provavelmente num valor c em I. Suponha que g ' ( x ) ≠ 0 para
(1)
G. F. A. de L’Hospital (1661-1704), matemático francês.
2 (Aula 08) FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS
todo x ≠ c em I,