Exercícios resolvidos de integral duplas1

LISTA DE INTEGRAIS DUPLAS - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Como aparentemente não foi pouca gente que ficou pra exame na matéria, vou passar as listas todas resolvidas aqui com uma explicação pra tentar ajudá-los um pouco.
LISTA DE INTEGRAIS DUPLAS
1. Estabeleça uma integral dupla para calcular o volume do sólido.
Sólido 14

Eu sei que o terror da molecada é tirar os limites de uma integral pra sólidos nessas coordenadas (cartesianas), mas vamos lá. O sólido possui três eixos: x, y e z, o que significa que vamos calcular volume - até aí tudo bem, mas isso significa ou que teremos uma integral dupla COM uma função já determinada, ou que teremos uma integral tripla.
No caso, como a lista é de integrais duplas, presumimos que teremos de usar a primeira opção.
Temos como fazer seis resoluções diferentes, obviamente vou pegar a que acredito ser mais fácil.
Uma integral genérica dessas seria:

Claro, poderíamos trocar f(z) por f(y) e dy por dz, inverter a sequência na ordem que quisermos. Mas há a condição básica: nesse exemplo, f(z) NÃO PODE conter nenhuma variável z (tem que sobrar só y e/ou x), e os limites de dy NÃO PODEM conter nenhuma variável z ou y (tem que sobrar só x), e os limites de dx devem ser algarismos.
Nesse caso, podemos pegar f(z) mesmo (4-x²) para iniciar a integral. Analisando o eixo x e o eixo z separadamente, é a curvinha que a figura faz de (x = 2; z = 0) a (x = 0; z = 4). Com as outras integrais, trabalharemos pra fazer o preenchimento até y = 4.
Temos agora:

Precisamos dos limites. Como já temos a função z ali, podemos esquecer completamente do eixo z pra trabalhar nos limites agora. Resta só x e y. A única função com y que temos é x+y=4, logo y = 4-x (limite final).
Analisando a figura, podemos ver que o eixo x no máximo vai até 2, mas na figura (vale a pena lembrar que equação não define tudo na integral, a figura é o mais essencial) y não se inicia em 2 e sim em 0, logo o limite inicial de dy é 0.

Os limites de dx são