Exercícios de Calculo II

Faculdade Dom Luiz de Orleans e Bragança
Disciplina: Cálculo II
1ª Lista de Exercícios – Integral Indefinida 1
1 – Conceito de Integral Indefinida
Dada uma função f, uma integral indefinida de f é outra função F tal que a derivada F’ é igual à função f.
Ex.:1 - Seja f(x) = 2x, então a função F(x) = x² é uma integral indefinida de f pois DxF(x)  Dx x 2  2x  f ( x).
Observemos, no entanto, que as funções H(x) = x² + 3; G(x) = x² - 7; M(x) = x² + 2 π são também primitivas da função f(x) = 2x, pois todas satisfazem ao conceito de integral indefinida. Então dizemos que a função f(x) = x² + k, k  R, é a primitiva geral da função f(x) = 2x.
Pelo que se disse até aqui, podemos concluir que a integração indefinida é a operação inversa da derivação, (ou da diferenciação) a menos de uma constante.
Símbolo:
Ex.:2 -



Ex.:3 -



xdx 

 f(x)  F(x)

 x2

x2
 k   x  f(x)
 k , pois, D x 
 2

2



3x 1 . dx =

2
9

3x  1 ³ + k, pois

Dx

2
9

3x  1 ³ =

3x  1

2- FÓRMULAS DA INTEGRAL INDEFINIDA:
Para melhor compreensão e facilidade de comparar, cobraremos as fórmulas da diferencial (derivada x ou dx) e da sua inversa, a integral indefinida em correspondência.
Integral
12-

 0.dx  k



x m1
 k, m  1 m 1 um1 um du 
 k, m  1 m 1 x m dx 


4 -  cf(x)dx  c  f(x)dx
5 -  f(x) g(x)dx   f(x)dx   g(x)dx
6 -  cosu . du  senu  k
3-



7 - senu . du  cosu  k
8-

 sec u . du  tgu  k
2

EXERCÍCIOS:
1) Calcular:
3

a)

 dx

b)



c)

 x dx

k)

x2
c
2 x4 R:
c
4 x6 R:
c
3

R:

xdx
3


e)  (2x) 2dx
f)  (3x) 3dx
g)  x dx
2x 5 dx

d)

3

R:



x4
 3x 2  1)dx
3

( x 2  1) 2 2xdx

R:

i) (
j)



4x 4  c



x
 5x)dx
2

R: 2 x  c

x

dx

x

 x  x dx

R: 

2

x2 x3 2
c
2
3
x3
5
x 2 c
R:
3 x 

p)



x 2  2x dx x

q)

x5