exercicios

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MATEMATICA
A - 12o Ano
Probabilidades - Demonstra¸c˜oes
Exerc´ıcios de exames e testes interm´edios
1. Seja Ω, conjunto finito, o espa¸co de resultados associado a uma certa experiˆencia aleat´oria.
Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω).
Sabe-se que:
• A e A s˜ ao acontecimentos equiprov´aveis;
• A e B s˜ ao acontecimentos independentes.
Mostre que 2P (A ∪ B) = 1 + P (B)
´ especial
Exame – 2014, Ep.

2. Seja Ω o espa¸co de resultados associado a uma certa experiˆencia aleat´oria.
Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω).
Sabe-se que:
• A e B s˜ ao incompat´ıveis;
• P (A) = 0 e P (B) = 0
Mostre que as probabilidades P (A), P (A|B) e P B|A s˜ao todas diferentes e escreva-as por ordem crescente. Teste Interm´ edio 12o ano – 29.11.2013

3. Seja Ω o espa¸co de resultados associado a uma certa experiˆencia aleat´oria, e sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω).
Mostre que, se A e B s˜ ao dois acontecimentos independentes, ent˜ao
P A ∩ B + P A × (1 − P (B)) = P A
´ especial
Exame – 2012, Ep.

4. Seja Ω o espa¸co de resultados associado a uma certa experiˆencia aleat´oria, e sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω), com P (B) = 0
Mostre que P A ∩ B|B + P (A|B) = 1
Exame – 2012, 2a Fase

5. Seja Ω o espa¸co de resultados associado a uma certa experiˆencia aleat´oria.
Sejam A e B dois acontecimentos tais que A ⊂ Ω e B ⊂ Ω e, com P (B) = 0
Mostre que P A ∩ B|B = P (A|B)
´ especial
Exame – 2011, Ep.

6. Seja Ω o espa¸co de resultados associado a uma certa experiˆencia aleat´oria, e sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω), com P (A) = 0
Mostre que P (B|A) ≥ 1 −

1 − P (B)
P (A)
Exame – 2011, 1a Fase

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7. Seja Ω o espa¸co de resultados associado a uma experiˆencia aleat´oria. Sejam A e B dois acontecimentos
(A ⊂ Ω e B ⊂ Ω) ambos com probabilidade diferente de zero.
Prove que P (A ∪ B) < P (A|B) × P B ⇐⇒ P (A) + P (B) < P (A|B)
Teste Interm´