Etapas 3 E 4 Atps

Páginas: 5 (1171 palavras) Publicado: 4 de abril de 2015

Engenharia de Controle e Automação
4Série Turma B



ATPS de Equações Diferenciais e Séries






Professor: Rodrigo Miola

Nomes:
Adriano do Nascimento Silva RA: 6622343352
André Luis Martineli RA: 6410261636
Eduardo Henrique F. de Moraes RA: 6451279847
Reginaldo Augusto Itioka RA: 6918469040Samuel Ramos RA: 6814000348
Rogério Rodrigues de Carvalho RA: 6697344598

Etapa 3


Séries Geométricas. Séries de Taylor.


Passo I

Propor uma solução para a equação diferencial encontrada para o circuito elétrico estudado.

R*i+1/C*Vc(t)=Vs

Solução para equações:

R*i+1/C*Vc(t)=Vs

i=(d.Vc(t))/dt

R*(d.Vc(t))/dt+1/C*Vc(t)=Vs


Semultiplicado 1/RC teremos uma equações diferencial, onde q(t) é a solução e Vs é uma constante e 1/RC é uma função.


R/R*(d.Vc(t))/dt+1/C*(Vc(t))/R=Vs/R

Se Vs=0

(d.Vc(t))/dt+1/RC*Vc(t)=0

(d.Vc(t))/dt=-1/RC*Vc(t)

1/(Vc(t))*dVc(t)= -dt/RC


Integrando a equação teremos:


ln|Vc(t)| = -t/RC+C

e^ln|Vc(t)| = e^(-t/RC)+C

Solução:

|Vc(t)| = ke^(-t/RC)



Passo II

Representação Gráfica:

Não concluído,pelo motivo de não encontrarmos uma solução para as equações apresentadas nas etapas anteriores.


Passo III


Estudar as condições de convergência para uma série geométrica e uma série de potência.Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Séries de Taylor

∑_(n=0)^∞▒f^((n))/n!*〖(x-a)〗^n
f(a)=f(a)+(f^' (a))/1! (x-a)+(f^'' (a))/2! 〖(x-a)〗^2+(f^'''(a))/3! 〖(x-a)〗^3+(f^'''' (a))/4! 〖(x-a)〗^4
Vc(t)=K〖.e〗^(-t⁄Rc)=
Se t=0
Vc(t)=K〖.e〗^(-0⁄Rc)=
Vc(t)=K.e^0=K
Vc^' (t)=-(K〖.e〗^(-t⁄Rc))/Rc=-(K.e^0)/Rc=-K/Rc
Vc^''(t)=-(K〖.e〗^(-t⁄Rc))/Rc*(-1/Rc)=(K.e^(-t⁄Rc))/〖(Rc)〗^2 =K/〖(Rc)〗^2
Vc'''(t)=(K〖.e〗^(-t⁄Rc))/Rc*(1/Rc)=-(K.e^(-t⁄Rc))/〖(Rc)〗^3 =K/〖(Rc)〗^3
Vc^''''(t) =-(K〖.e〗^(-t⁄Rc))/Rc*(-1/Rc)=-(K.e^(-t⁄Rc))/〖(Rc)〗^4 =K/〖(Rc)〗^4
f(t)=f(K)-(K⁄Rc)/1(x-a)+(K⁄〖(Rc)〗^2 )/2 〖(x-a)〗^2-(K⁄〖(Rc)〗^3 )/6 〖(x-a)〗^3+(K⁄〖(Rc)〗^4 )/24 〖(x-a)〗^4
f(0)=f(K)-(K⁄Rc)/1 (x)+(K⁄〖(Rc)〗^2 )/2 〖(x)〗^2-(K⁄〖(Rc)〗^3 )/6 〖(x)〗^3+(K⁄〖(Rc)〗^4 )/24 〖(x)〗^4


Passo IV
Elaborar um texto que justifique se a equação diferencial do circuito elétrico analisado possui solução(ões) representável(eis) por séries. Esse texto será parte de um relatório final a ser entregue na conclusão dotrabalho.

Através de pesquisas, realizada por meio da internet, conseguimos retirar as equações acima, mas sem sucesso para realiza-las e chegar a uma solução para a montagem do gráfico pedindo no passo 2 da etapa 3.


Etapa 4



Pesquisa Realizada nas séries de Fourier.


Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries infinitas, após investigações preliminares de Euler, D'Alembert,e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas séries à solução da equação do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e publicando a sua Théorie analytique de la chaleur em 1822. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier são algo informais, em boa parte devido à falta de uma notação concisa de funções e integrais nos inícios do século XIX. Maistarde, Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande precisão e rigor formal.
Muitas outras transformadas de Fourier foram definidas desde então, estendendo a outras aplicações a ideia inicial de representar qualquer função periódica pela sobreposição de harmónicas. A área genérica destes estudos é hoje por vezes definida como a análise harmónica.
Séries de Fourier são formas de representar funções como soma deexponenciais ou senóides.
As séries de Fourier podem ser calculadas pela forma trigonométrica ou pela forma complexa.

Forma Complexa:

onde:


Forma Trigonométrica:
Sendo:

Então:

onde:




Séries de Fourier

Voltemos agora às séries trigonométricas da forma na qual observamos que todas as innitas parcelas são periódicas de período T. No conjunto de valores de x para os quais a série...
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