estudante

08/08/2010

f(x) = x + 1

Introdução ao conceito de Limites
Adalberto Santos

f (x) = x 2

(

)

f(x) = x + 1

(

f(x) = x + 1

)

f(x) = x + 1

À ESQUERDA
)

À DIREITA
(

)

x+1

x

(

x
0,9

1,9

0,99

1,99

0,999

1,999

0,9999

1,9999

0,99999 1,99999
.....

.....

x+1

1,1
(

)

(

)

2,1

1,01

2,01

1,001

2,001

1,0001

2,0001

1,00001

2,00001

.....

......

1

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f(x) = x + 1
À ESQUERDA x O conceito de limite é a ideia fundamental do Cálculo. Dele depende todos os outros conceitos que serão apresentados durante a disciplina.

À DIREITA

x+1

x

x+1

0,9

1,9

1,1

2,1

0,99

1,99

1,01

2,01

0,999

1,999

1,001

2,001

0,9999

1,9999

1,0001

2,0001

0,99999 1,99999

1,00001

2,00001

.....

.....

......

.....

O que está por trás do conceito de limite é a ideia de proximidade, vizinhança.

Exemplos sobre limites de funções polinomiais

Conclusão:
Quando x se aproxima de 1, tanto pela direita

Exemplo 01

como pela esquerda, f(x) se aproxima de 2.

lim

(−2 x + 2)

x → −1

Usamos a seguinte simbologia: x se aproxima de 1 ⇔ x → 1 lim ( −2x + 2) = 4

f(x) se aproxima de 2 ⇔ f(x) → 2

x → −1

ou

lim ( x + 1) = 2 x →1

lim

x2

A partir dos exemplos anteriores podemos

x→ 0

concluir que se f(x) é

uma função

polinomial, o limite da função para x → a corresponde a f(a).

lim

Mais formalment e :

x2 = 0

Se f ( x ) = a 0 x n + a1x n −1 + .... + a n −1x + a n

x→ 0

então

lim (a x
0

n

+ a 1 x n − 1 + .... + a n − 1 x + a n ) = ( a 0 a n + a 1a n − 1 + .... + a n − 1a + a n

) = f (a )

x→ a

2

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a)

lim x

2

Qual o lim x →1

− 2x + 1

x →1

?

Será que a função se aproxima de algum valor quando x → 1? x 2 −1 x −1

x

2

lim x + x

b)

x2 − 1 x−1 x

x2 −1 x −1