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35ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
TERCEIRA FASE – NÍVEL 1 (6º e 7º ano do Ensino Fundamental)
PROBLEMA 1

Dizemos que um número inteiro positivo é enrolado se satisfaz as duas condições a seguir:  Tem três ou mais algarismos.
 Um de seus algarismos é igual à soma de todos os demais.
Por exemplo:
2013 é enrolado, pois 3 = 2 + 0 + 1;
220 é enrolado, pois 2 = 0 + 2;
789 não é enrolado, pois nenhum de seus algarismos é a soma dos demais;
22 não é enrolado, pois é um número de dois algarismos (observe que 022 é igual a 22, ou seja, não é enrolado).
a) Qual é o maior número enrolado formado por algarismos diferentes de zero?
b) Quantos números enrolados de três algarismos existem?
PROBLEMA 2

Sobre uma mesa há três pilhas de moedas, uma com 19, outra com 13 e outra com 6 moedas. Ana, Beatriz e Clara resolvem disputar essas moedas fazendo o seguinte: na ordem alfabética de seus nomes, cada uma delas escolhe uma pilha qualquer e a divide em duas pilhas menores. Quem não puder fazer isto sai do jogo e a última a fazê-lo ganha todas as moedas.
a) Após a primeira jogada de Clara, quantas pilhas haverá sobre a mesa?
b) Quem irá ficar com todas as moedas?
PROBLEMA 3

Paulo possui uma folha de papel ABCD quadrada de lado 20 cm. A frente da folha é branca e o verso é cinza. O ponto E é marcado no centro da folha. Ele decide fazer um cata-vento com a folha. Para isso, ele recorta o segmento BE e dobra a ponta que estava no ponto B até o ponto E. Ele repete o procedimento para cada um dos outros três vértices do quadrado, completando o cata-vento.

a) Qual a razão entre a área cinza e a área branca na figura acima?
b) Paulo pegou outra folha quadrada XYZW igual à folha ABCD e montou outro catavento. Ele girou o cata-vento XYZW de um ângulo de 45º e colocou sobre o cata-vento
ABCD de modo que os centros das folhas ficassem sobrepostos, montando a figura a seguir. 35ª Olimpíada Brasileira de Matemática – Terceira Fase – Nível 1